calculo integral

1. Áreas y volúmenes de revolución
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Introducción
Aunque el Cálculo se desarrolló para resolver problemas de física, su poder y flexibilidad lo ha hecho útil en muchos campos del conocimiento.
El álgebra y la trigonometría nos sirven para estudiar los objetos que se mueven velozmente a lo largo de una trayectoria rectilínea ocircular, pero si la velocidad es variable o la trayectoria es irregular es necesario el cálculo.
¿Sabes dónde se puede utilizar el cálculo?
Estos son algunos ejemplos de su aplicación en la vida diaria:
• Investigaciones sobre la rapidez o tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias,
• la predicción del resultado de una reacción química,
• la medición de los cambios instantáneos de unacorriente eléctrica,
• la descripción del comportamiento de las partículas atómicas,
• la estimación de la reducción de los tumores en la radioterapia,
• la predicción de las ganancias o pérdidas económicas en cualquier proyecto de investigación, y
• el análisis de las vibraciones de un sistema mecánico.
El uso de la integral, al igual que la derivada, es tan amplio que es sorprendente suaplicación en la actualidad. Se aplica en el espacio, en armamentos, en cálculos de flujos sanguíneos, en genética, en problemas cardiovasculares; y ahora, con el avance cibernético, el cálculo diferencial e integral sirve para interpretar, por ejemplo, las lecturas de velocidad de un transbordador y calcular la altura que ha alcanzado en un tiempo dado.
¿Conoces alguna otra aplicación del cálculo?Participa en el siguiente foro.

Actividad foro 12. Aplicaciones del cálculo

En esta unidad revisaremos algunos ejemplos donde se aplica el cálculo integral y los procedimientos que se llevan a cabo para ello.
Iniciaremos con el primer tema donde estudiaremos la aplicación del cálculo integral en áreas y volúmenes.
Como sabes, uno de los problemas a los que se enfrentaron losmatemáticos del pasado fue encontrar el área de superficies que no correspondían a cuerpos geométricos conocidos. Afortunadamente, a través del tiempo esto fue posible gracias al Cálculo Integral.
Área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo.
La idea o el concepto que manejamos deárea es tamaño de una región acotada; en este caso, lo que mide una superficie. Para hallar el área de figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de fórmulas matemáticas que facilitan este cálculo.
Nuestro problema consiste en encontrar un procedimiento que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma geométrica de ésta. Para lograrlo es necesario utilizarla integral definida. Veamos cómo.
1.1 Cálculo de áreas
Hemos revisado que la integral definida representa el área debajo de una curva. Para encontrar el valor de esa área usaremos el siguiente resultado que proviene del Teorema Fundamental del Cálculo:

Lo cual nos indica que para calcular el área deberás
a) Calcular la integral indefinida
b) Evaluar el resultado de dicha integral en ellímite superior
c) Evaluar ahora en el límite inferior
d) Calcular la resta
A continuación te presentamos varios ejemplos. Analízalos y reflexiona sobre las propiedades de la integral definida que se están utilizando así como en las interpretaciones geométricas del área.
Ejemplo 1

Ejemplo 2
Calcula el área limitada por entre las rectas y .
Solución
De acuerdo con los datos delproblema se realiza la gráfica; primero, de la función; después, de las rectas; y luego se indica el área que está comprendida entre ellas, como se muestra a continuación:

Como vemos, el área buscada se encuentra en las rectas y .
En otras palabras, se define el intervalo de integración de
Por lo tanto es necesario calcular la integral definida desde 1 hasta 3.

Ya que tenemos...