Calculo integral

CALCULO INTEGRAL

Unidad 1 Teorema Fundamental del Cálculo

Unidad 2 Integral Indefinida y Métodos de Integración

Unidad 3 Aplicaciones de la Integral

Unidad 4 Series

L. M. Clemente Hernández Santiago

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“Cuando se nos otorga la enseñanza se debe percibir como un valioso regalo y no como una dura tarea, aquí esta la diferencia de lo trascendente”
(Albert Einstein)

“ La imaginación es mas importante que el conocimiento”
( Albert Einstein)

L. M. Clemente Hernández Santiago

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Arquímedes de Siracusa fue el mas grande matemático de la era antigua desde el siglo V a.C. hasta el siglo II d. C., cuando se sembró la semilla de las matemáticas modernas, en las comunidades Griegas ubicadasprincipalmente a orillas del mar Mediterráneo. Fue famoso en su tiempo por sus inventos mecánicos: el llamado tornillo arquimediano, para bombear agua, dispositivos de palanca y polea(“dadme un punto de apoyo y moveré al mundo”), un planetario que duplico los movimientos de los cuerpos celestes de manera tan precisa que mostraba los eclipses del sol y de la luna, y las maquinas de guerra queaterraron a los soldados romanos en la batalla de Siracusa, durante la cual fue muerto Arquímedes. Pero se decía que para el mismo Arquímedes, estos inventos eran simplemente una “distracción de la geometría en juego”; sus obras se dedicaban a las investigaciones matemáticas. Arquímedes llevo acabo muchos de los cálculos de área y volumen que ahora usan calculo integral: desde áreas de círculos, esferasy segmentos de secciones cónicas hasta volúmenes de conos, esferas, elipsoides y paraboloides. Se había demostrado con anterioridad, en los Elementos de Euclides, que el área A de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio, de modo que A  r 2 para alguna constante de proporcionalidad. Pero fue Arquímedes quien aproximo con precisión el valor numérico de  . Euclides también demostró queel volumen V de una esfera de radio r esta dado por V  r 3 (  constante), pero fue Arquímedes quien descubrió y demostró que 4  . 3

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UNIDAD I
TEOREMA FUNDAMENTAL CEL CÁLCULO 1.1 Notación Sumatoria
Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se denomina notación Sigma debido a que utiliza la letragriega  , la sigma mayúscula. DEFINICION: La suma de n términos a1 , a2 , a3,...an se escribe como

a
i 1

n

i

 a1  a 2  a3, ...  a n

Donde i es el índice de la suma, a i es el i-ésimo término de la suma, y los limites inferior y superior de la suma son 1 y n . TEOREMA: (Propiedades de Linealidad de  ) Si c es una constante, entonces 1) 2)

 cai  c ai
 ai  bi    ai  bi
i 1 i 1 i 1

n

n

i 1 n

i 1

n

n

Ejemplo 1:Exprese en notación desarrollada las siguientes sumas.
a) b) c) d) e)

i  1 2  3  4  5  6
 i  1  2  3  4  5  6
i 1 5
i 1 7

6

j
j 3
n k 1 n i 1

2

 32  4 2  5 2  6 2  7 2
2

 n k
1

1 



1 2 1 1 1  1  2 2  1  ...  n 2  1 n n n
1 2











 f ( x )x  f ( x )x  f ( x
i

)x  ...  f ( xn )x
100 i 1

Ejemplo 2: Supongamos que  ai

 60 y

b
i 1

100

i

 11 calcule

 2a
i 1

100

i

 3bi  4

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SOLUCION:

 2a
i 1

100

i

 3bi  4   2ai   3bi   4  2 ai  3 bi   4  2(60)  3(11)  100(4)  487i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

100

100

100

100

100

100

TEOREMA: Formulas básicas de Suma 1) 2)

 c  cn
i 
i 1 n

n

n(n  1) 2 i 1 n n(n  1)(2n  1) 3)  i 2  6 i 1

n 2 n  1 4)  i  4 i 1
n 3

2

5)

i4 
i 1

n

n(n  1)(2n  1)(3n 2  3n  1) 30
n

Ejemplo 3: Encuentre una formula para   j  2 j  5
j 1

SOLUCION:

  j...