Calculo integral

150 – Matem´ticas I : C´lculo integral en I
a
a
R

Tema 14

Aplicaciones de la integral
14.1

´
Areas de superficies planas

14.1.1

Funciones dadas de forma expl´
ıcita

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 13, parece razonable la siguiente definici´n:
o
Definici´n 289.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´n continua y positiva, y consideremos la regi´nR del plano
o
o
o
cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la gr´fica de f (ver figura debajo).
a
Entonces el ´rea de la regi´n R est´ definida por
a
o
a
b

A(R) =

f (x) dx.
a

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” y
por “exceso” del ´rea encerrado por lacurva y = f (x), es decir, el
a
valor de ese ´rea est´ siempre entre el ´rea calculado por defectoo y
a
a
a
el calculado por exceso. Entonces, cuando la funci´n es integrable,
o
el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiores
coinciden, y como el valor del ´rea indicado por la funci´n est´ ena
o
a
tre ambos valores, necesariamente debe conincidir con el valor dela
integral.

y = f (x)

R
a

b

2

Ejemplo Calcular el ´rea de la regi´n limitada por la curva f (x) = x + 1 , los ejes coordenados y la recta
a
o
3
x = 3.
Soluci´n:
o
La funci´n es positiva en todo IR . En particular, lo es en el dominio de
o
integraci´n y, por tanto, el valor del ´rea que buscamos vendr´ dado por
o
a
a
x2
f (x) =

3

+1

3

A(R) =

f (x) dx.0
1

3

En nuestro caso, como F (x) = x + x es una primitiva de f en [0, 3],
9
basta aplicar la regla de Barrow para obtener que
3

A(R) =
0

x2
+ 1 dx =
3

x3
+x
9

R
x=3

3

= (3 + 3) − (0 + 0) = 6,
0

nos ofrece el ´rea del recinto R de la figura.
a
14.1.1.1

Funciones negativas
Cuando la funci´n f : [a, b] −→ IR que limita R , es continua y negao
tiva, esdecir, f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], el valor de la integral ser´
a

y = −f (x)

b

R

f (x) dx ≤ 0, por lo que no puede representar el valor del ´rea de R
a

a

b

R
y = f (x)

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian
e

a

como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el ´rea
a
de la regi´n R coincide con el ´rea de la regi´n R determinada por la
o
a
o
funci´n −f(ver figura a la izquierda), por lo que, teniendo en cuenta
o
las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definici´n.
o

I.T.I. en Electricidad

´
14.1 Areas de superficies planas

151 – Matem´ticas I : C´lculo integral en I
a
a
R

Definici´n 290.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´n continua y negativa. Consideremos la regi´n R del plano
o
o
o
cuya frontera viene dada porlas rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la gr´fica de f . Entonces el ´rea de
a
a
la regi´n R est´ definida por
o
a
b

A(R) =

b

−f (x) dx = −
a

f (x) dx.
a

Observaci´n 291.- Es claro entonces, que para calcular el ´rea de regiones planas debe analizarse el signo de
o
a
la funci´n en el intervalo de integraci´n. De no hacerlo as´ la parte negativa de la funci´n“restar´” el ´rea
o
o
ı,
o
a
a
que encierra del ´rea encerrado por la parte positiva.
a
Contraejemplo.- Hallar el ´rea encerrado por la funci´n f (x) = sen x , en el intervalo [0, 2π ].
a
o
2π

El valor

2π

sen x dx = − cos x

0

0

= (− cos(2π )) − (− cos 0) = 0 , es claro que no representa el ´rea
a

encerrada por la curva.
R1
π

2π

R2
Ahora bien, teniendo en cuenta quela funci´n sen x es positiva en [0, π ] y negativa en [π, 2π ], el valor real del
o
´rea encerrado ser´ por tanto
a
a
π

2π

A(R) = A(R1 ) + A(R2 ) =

sen x dx +

− sen x dx = − cos x

0

π

Ejemplo Hallar el ´rea determinada por la curva f (x) = (x − 1)(x − 2),
a
5
las rectas x = 0, x = 2 y el eje de abcisas.
Como la funci´n f (x) es menor o igual a cero en [1, 2] y...