Calculo Integral

Recta tangente a una curva en un punto
y> 0

y1 = m.x + b

y2 = f(x)
ya

b
Δy
α
0

a

x> 0

Δx

m = Δy/Δx ⇒ m = tg α
y2´ = f´(x)
pero y2´ en a:
tg α = f´(a) ⇒m = f´(a)
por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a, es:
y1 = f´(a).x + b
Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente ala curva) y la curva.
1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.
a- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
b- reemplazar en la derivada x por elvalor a.
y2´ = f´(a)
c- el resultado es la pendiente m.
m = f´(a)
d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
y1 = m.(x – a) + ya
2) Dadas las ecuaciones de larecta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.
a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
y1 = y2 ⇒m.x + b = f(x)
b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.
c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.
d- el punto de intersección será:
P(a; ya)
e-derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
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f- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
g- verificar que f´(a) sea igual a m.
y2´ = m
3) Dadauna recta cualquiera (y = m3.x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva.
a- la pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
m3 =m1
b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
m3 = f´(a) ⇒ m3 = f´(x)
c- despejar el x = a.
d- con el valor de x reemplazaren y2 para hallar ya.
e- el punto de intersección será:
P(a; ya)
f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
y1 = m3.(x – a) + ya

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