Calculo Laly

Área entre una función positiva y el eje de abscisas
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integraldefinida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos 
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.


Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entrex = 0 y x = 3.

2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
·

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:





 Area Bajo La Grafica De Una Funcion
Area bajo el gráfico de una función
La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptosfísicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio delintervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreasindividuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx =[F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la diferencia entre el área cuando la curva estápor debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho delrectángulo como el límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.

Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y enlugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y.

- Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y =
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas
Area Entre Las Graficas De Funciones...