Calculo univalle

Universidad del Valle ´ Taller de Calculo I (Derivadas) Profesor: Horacio Navarro Oyola 1. Use la definici´n de derivada para hallar a f (x) o √ (a) f (x) = 3x + 1 (c) f (x) = x3 + x √ (e) f (x) = 7 x (g) f (x) = 9x − 2 (j) f (x) = −2x3 + 1 x2

(b) f (x) = 37 (d) f (x) = 2x3 − 4x2 + 5 1 (f) f (x) = x−2 (h) f (x) = 7x2 − 5 √ (k) f (x) = 3 x + 1

2. En los siguientes ejercicios use la derivadapor la derecha y por la izquierda para demostrar que no son derivables las siguientes funciones: i) f (x) = |x − 5| en x = 5 ii) Sea f (x) = x + 2, si 1 < x < 3 en x = 1 2 x − 3x + 4, si x ≤ 1 ∨ x ≥ 3

3. Sea f (x) un polinomio de grado uno. Pruebe que f (x) es un polinomio de grado cero. ¿Qu´ concluye si e f es un polinomio de grado 2, 3 o n? 4. Sea f (x) = 0, si x es racional 1, si x esirracional

Muestre que f no es derivable para ning´n n´mero real a. u u 5. Si f, g, h son derivables, use la regla del producto para demostrar que: i) Dx [f (x)g(x)h(x)] = f (x)g(x)h (x) + f (x)g (x)h(x) + f (x)g(x)h(x). ii) Si f = g = h entonces Dx [f (x)]3 = 3[f (x)]2 f (x). 6. Sean f y g funciones derivables tales que f (2) = 3, f (2) = −1, g(2) = −5, g (2) = 2. Encuentre: a)(f + g) (2) b)(f g) (2)c)(4f ) (2) d) f g (2) e) (f.f ) (2) f) g f (2)

7. Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de y = 3x2 + 4x − 6 que es paralela a la recta o a 5x − 2y − 1 = 0. 8. Encuentre la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 9) y es tangente a la gr´fica de y = x2 . o a 9. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´fica de y = x3 que son paralelas a la recta a 16x − 3y+ 17 = 0. 10. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (3, 1) y son tangentes a la gr´fica xy = 4. a 11. Halle la ecuaci´n de la recta normal a la curva dada en el punto con coordenada x indicada. o a) y = x3 − x2 + 2x en x = 1. √ b) y = x(x2 + 2) en x = 4 c) y =
1 2x+1

en x = 2.
dy dx

12. En los siguientes problemas determine (a) y =

mediante derivaci´n logar´ oıtmica: (3 − x2 )1/2 (x4 + 1)1/4 (d) y = xx (b) y = (f) y = (1 + x)1/x
1/3

√ (x2 − 4) 2x + 1

(c) y = (cos x)x (e) y = xln x (g) y = (x + 1)(x + 2) (x2 + 1)(x2 + 2)
√

(h) y =

(1 + x2 )3/2 (x3 + 1)4/3
2

(i) y = (ln x) x √ √ (k) y = ( x) x √ x (m) y = e( x) 1

(j) y = (x2 + 1)x (l) y = (ln x)ln x (n) y = xx
x

13. Suponga que u y v son funciones derivables de x. Muestre mediantederivaci´n logar´ o ıtmica que Dx (uv ) = u (x)vuv−1 + v (x)uv ln u. 14. Suponga que y = uvw donde u, v, w, p, q, r son funciones derivables de x y p, q, r distintas de cero. Utilice pqr derivaci´n logar´ o ıtmica para hallar y (x). 15. En los siguientes problemas determine f (x): (a) f (x) = 3 sin2 x (c) f (x) = 2 cos4 x (e) f (x) = x2 sin2 (2x) (g) f (x) = x2 cos(3x2 − 1) √ (i) f (x) = sin(2 x) √(k) f (x) = sin(1 + sin x) (m) f (x) = 1 + cot(5x) (b) f (x) = x cos x sin x + sin2 (3x) (f) f (x) = cos(2x) sin(3x) x (h) f (x) = sin(3x) (j) f (x) = (sin x − cos x)2 (l) f (x) = x7 tg(5x) √ (n) f (x) = csc( x) (p) f (x) = sec(x7 ) (r) f (x) = cos(sin x2 ) 1 √ x (v) f (x) = sin(2x) − 2 sin x cos x (t) f (x) = cot √ (b) f (x) = sec−1 ( x2 + 4) (d) f (x) = arcsin t−1 t+1 (d) f (x) = 1
2

(o) f(x) = sec2 x − tg2 x √ √ (q) f (x) = x sin x+ x sec x 1 + tg x (u) f (x) = (sin2 x + cos2 x)3 (s) f (x) = 16. Calcule f (x): (a) f (x) = arc cos(x) + (c) f (x) = ln x 1 − x2 − sin(arctan(ax + b)) √ 6x 2

eax bx2 + 9

1 (e) f (x) = sin(arc cos(x)) + arctan 6 (g) f (x) = 1 ln 2 x+1 x−1

(f) f (x) = ln(arctan(3x)) (h) f (x) = arcsin x + arc cos x

− tan(arcsin x)

17. En los siguientesproblemas determine f (x): (a) f (x) = 10x (c) f (x) = 7cos x (e) f (x) = lg3 (2x ) (g) f (x) = lg(cos x) (i) f (x) = π x (k) f (x) =
3

√ (d) f (x) = lg3 x2 + 4 (f) f (x) = lg2 (lg3 (x))
√

(b) f (x) = 2 x2

1

(h) f (x) = 3

1−x2

(j) f (x) = ln ex x +

x2 1 + x2

1 − ex sin x (m) f (x) = lg10 (ex ) (o) f (x) = 18. Derivar impl´ ıcitamente (a) ex + y = arc cos x (c) x sin y + x3...