Calculo1

1.-Definicion de derivadas
Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender a manejar el cálculo integral, que se explicará más adelante en esta misma página.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que seránfácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es decero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponersu campo de existencia.
. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:[pic]
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
[pic]
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
[pic]
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
[pic]
Sí en lugar de considerar h el incrementode la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
[pic]
[pic]


Derivada

[pic]
Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, quepasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.
Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P yP' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.
[pic]
Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.
Entonces limP'->P α' = α
Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:
f(x) - f(a) cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )x - a cateto adyacente
Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:
f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a
A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)

Definición


Derivada en el punto a

Se llama derivada de f(x) en x=a, yse denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.
H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.
Demostración:
Por hipótesis, existe
f(x) - f(a)
lim ----------...