calcuo

Bloque de ANÁLISIS
1.- Hallar los valores de x que verifican:
a) 5 - x2 < 8
1 1
c) >0
x 1- x
x-1
>0
f)
x+1

b) (x - 3 2 )(x - 2 ) > 0
d) 2x < 8

e) x + 3x < 4

2.- Hallar los valores de x que verifican
a) *x - 3* = 8

b) *x - 3*< 8

c) *x - 1* + *x - 2*> 1

d) *x - 1**x + 2*= 3 e) *2x - 3 *< 1 f) *x2-7x+12 *> x2 -7x + 12
g) x + *x - 2 * = 1 + *x *

3.- Hallar el extremosuperior o supremo y el extremo inferior o ínfimo, si
existen, de los siguientes subconjuntos de R. Decidir también cuáles de ellos
tienen máximo y mínimo.
1

a)  ; n ∈ 
n


1
b)  ; n ∈ Z y n ≠ 0 


n



1
c)  + (−1)n ; n ∈ 


n



d) { x; x 2 + x + 1 ≥ 0} e) { x; x < 0 y x 2 + x − 1 < 0}

4.- Indicar sobre la recta real el intervalo o subconjunto de lamisma que satisface
las siguientes condiciones:
a) x − 3 < 1
d)

1
1
<
2
1+ x
2

b) x − 3 ≤ 1

c) x 2 − 1 <

1
2

e) ( x + 1)( x − 1)( x − 2 ) > 0

5.- Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
 1 si x > 0

a) La función y = sgn(x) =  0 si x = 0
-1 si x < 0

 1 si x es racional
b) La función de Dirichlet: y = 
 0 si x es irracional
c) Lafunción parte entera de x: y = [x] que se define como el mayor entero
menor o igual que x.
6.- Determinar el dominio de las siguientes funciones:

Matemáticas II. Bachillerato de Ciencias y Tecnología

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Bloque de ANÁLISIS

a) f ( x) =

1− x
1+ x

b) f ( x) =

c) f ( x) = log(1 − log(4 x 2 − 4 x + 1))
7.- Si f ( x ) =

d) f ( x) =

1
sen x − 1
2

1
− sen x
2

1
1 
 2x + 1 
, hallar los valores de x que verifican: f 
= f 

x +1
 x +1
 2x + 4 

8.- Un experto en organización laboral ha comprobado que, cuando una empresa emplea
3x + 4
x trabajadores (x > 3), se necesitan h =
horas para completar cierta tarea. Se
2x − 5
pide:
a) Determinar el importe de la nómina y en función de x, sabiendo que se paga a 15
euros la horatrabajada.
b) ¿Podría hacerse la mencionada tarea en menos de una hora aumentando el
número de trabajadores empleados?. Justifica la respuesta.
9.- Se inscribe un polígono de n lados en una circunferencia de radio R.
a) Probar que el perímetro del polígono viene dado por la fórmula:
4π R
θ
2π
p (θ ) =
sen , siendo θ =
el ángulo central del polígono inscrito.
2
n
θ
s en x
b) Utilizar lafórmula anterior y el hecho de que lim
= 1 para probar que la
x→0 x
longitud de la circunferencia es 2π R .
c) Hallar la fórmula que da el área del polígono inscrito en función de su ángulo
2π
central θ =
y, de forma análoga al apartado b), probar que el área del círculo
n
es π R 2 .
10.- Calcula los siguientes límites:

 4 − x2 
a) lim ln 
2 
x→2
 4x − 2x 
c) lim

x →+∞

4 x2− 1
2x + 3

2 − 4 + x + x2
b) lim
x →0
x
d)

x
−1
4
e) lim
x→4 x − 4
1 − cos x
g) lim
x → 0 2tg x

πx

i) lim (1 − x ) tg
2
x →1
1 1

k) lim
− 1

h → 0 h  1+ h 

lim ( 3 − x )
x → 2+

f) lim
x→0
h) lim

x →+∞

(

1
x −2

1 − cos x
x

x2 + 4 x − x

)

1

 1 + tg x  sen x
j) lim 

x → 0  1 + sen x 

Matemáticas II. Bachilleratode Ciencias y Tecnología

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Bloque de ANÁLISIS

11.- Probar:

3π x

3π  2

x
= e −1
b) lim 1 + cos
2 
x →1
sen ax a
c) lim
= (siendo b ≠ 0 )
x → 0 sen bx b
tg

x

 1
a) lim 1 −  = e−1
x →+∞
 x
x3 − 1
=3
c) lim
x → 1 sen ( x − 1)
12.- Determinar el valor de a para el cuál:

)

(

lim
2 x − 4 x 2 + ax + 1 = 1
x → +∞

13.- Estudiar lacontinuidad de la función f(x) = x sen

1
en x = 0. ¿Qué diferencias
x

1

 xsen si x ≠ 0
observas con la función g(x) = 
definida a partir de la anterior?
x
 0 si x = 0

14.- Sea f una función real de variable real ( f 0 F (R,R)) definida
 1
 x si x ∈ Q*

por: f(x) =  0 si x = 0 . Probar que solo es continua en x = - 1 y x = 1.
 x si x ∈ R - Q



15.- Estudiar la...