Campos Vectoriales Y Escalares

TEMA 2
CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES






1. Vector función de un escalar




Un vector A es función del escalar u si lo es alguna de sus componentes:

A(u) = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k (1)

Al dar valores a u vamos obteniendo una serie de vectores A ; se trata de una aplicación de R en R3 , u A(u).
Si tomamos todos los vectores con origen enO, sus extremos dibujan una curva en el espacio, llamada indicatriz, de ecuaciones paramétricas Ax = Ax(u) ; Ay = Ay(u) ; Az = Az(u).



[pic]

Figura 1



El parámetro u representa un escalar cualquiera, pero frecuentemente se tratará del tiempo t. Del mismo modo, el vector A puede describir muchas magnitudes físicas. Si representa la posición r de un punto o partícula, laindicatriz, r(u), será su trayectoria.







2. Derivada e integral de un vector



Para un valor u del escalar el vector A viene dado por la ecuación (1). Si se incrementa la variable en un u, el vector tomará un valor incrementado,

[pic] (2)

Restando (1) de (2) tenemos:

A = A(u + u) - A(u) = Axi + Ayj + Azk (3)





donde Ax = Ax(u + u) - Ax(u) yanálogamente para las componentes Ay y Az.
La derivada de A se define como el límite al que tiende el cociente A/u cuando el incremento de la variable se hace cada vez más pequeño; es decir:

[pic] (4)

Dicho de otro modo, la derivada de un vector es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes del primero:

[pic] (5)

El vector derivada estangente a la curva indicatriz, ya que A/u tiene la misma dirección que A (PQ, en la figura 2); y cuando u 0 , los extremos de A(u) y A(u + u) se aproximan (Q tiende a P) y la recta PQ tiende a hacerse tangente a la curva en P.


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Figura 2




Reglas de derivación



La derivación de vectores tiene propiedades similares a las que cumplen los escalares. Así, si tenemos losvectores A(u) , B(u) y la función escalar f(u) se verifica:


a) Derivada de la suma de vectores:

[pic] (6)



b) Derivada del producto por un escalar:

[pic] (7)



c) Derivada de un producto escalar:

[pic] (8)



Ejemplo 1: Demostrar que si un vector función de un escalar tiene módulo constante su derivada es otro vector perpendicular al primero.Si A(u) tiene módulo constante,

A(u)·A(u) = A2 = cte (9)

Por tanto, la derivada de este producto debe ser cero:

[pic] (10)

Como A 0 y dA/du 0 el producto escalar de los dos vectores sólo puede ser nulo si son perpendiculares:
[pic] (11)







d) Derivada de un producto vectorial:

[pic] (12)



Como operacióninversa de la derivación, se define la integral de un vector A(u) = = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k como otro vector cuyas componentes son las integrales de las componentes del primero:

[pic] (13)








3. Campos escalares.



Una función escalar que toma valores en los puntos del espacio se dice que es una función escalar de punto; o más simplemente, un campo escalar.A cada punto P (x , y , z), la función le hace corresponder un número ((x , y , z); es
una aplicación de R3 en R. Aunque no es necesario que esté expresada en función de las coordenadas cartesianas, será lo más habitual.

El conjunto de todos los puntos del espacio donde el campo toma un determinado valor o forman una superficie equiescalar, cuya ecuación será:

(x , y , z) =o (14)

Las superficies equiescalares pueden representar puntos que tienen la misma temperatura (isotermas), el mismo potencial (equipotenciales) o cualquier otra magnitud escalar.
Si el campo está definido en un plano las equiescalares serán líneas en vez de superficies. Un ejemplo lo tenemos en las curvas de nivel de un mapa topográfico. En este caso, la...