Cap 6 ECUACIONES Moises Villena

Moisés Villena Muñoz

Ecuaciones

6
6.1 INTERVALOS
6.2 VALOR ABSOLUTO
6.3 ECUACIONES EN UNA INCOGNITA
• ECUACIONES LINEALES
• ECUACIONES CUADRÁTICAS
• ECUACIONES CON RADICALES
• ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
• PROBLEMAS.

La solución de ciertas situaciones problémicas conducen a plantear ecuaciones para
resolverlas. Por tanto, es importante que aprendamos a encontrar los conjuntos solución dediversos tipos de ecuaciones.
En los problemas de cardinalidad de conjuntos ya se empleaban ecuaciones.

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Ecuaciones

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina diversos tipos de intervalos
 Represente intervalos en la recta real.
 Defina valor absoluto de un número real.
 Aplique las propiedades del valor absoluto.
 Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas,con radicales, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones.

6.1 INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de números reales.
Tenemos los siguientes tipos de intervalos:

INTERVALO CERRADO

INTERVALO ABIERTO

I = [a b] = {x / a ≤ x ≤ b donde x ∈ R}

I = (a, b ) = {x / a < x < b

donde x ∈ R}

INTERVALOS SEMIABIERTOS

I = [a, b ) = {x / a ≤ x < bdonde x ∈ R}

I = (a, b] = {x / a < x ≤ b donde x ∈ R}

OTROS INTERVALOS

I = (− ∞, a ] = {x / x ≤ a donde x ∈ R}

I = [b, ∞ ) = {x / x ≥ b donde x ∈ R}

6.2 VALOR ABSOLUTO
Si a ∈ R , entonces el VALOR ABSOLUTO de a
a,
denotado
como
se
define
como:
 a si a ≥ 0
a =
− a si a < 0
Es decir, si a es un NÚMERO POSITIVO o CERO su valor absoluto
es el mismo número. Si a ES NEGATIVO su valor absoluto esel número
cambiado de signo (lo hacemos positivo).

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Ecuaciones

Ejemplo 1
2 =2

Ejemplo 2
−2 = −(−2 ) = 2

Ejemplo 3
−

1 1
=
5 5

6.2.1 PROPIEDADES

Si a ∧ b ∈ R , entonces:
1. a ⋅ b = a ⋅ b
2.

a
a
=
b
b

;

b≠0

3. a + b ≤ a + b
4. a − b ≥ a − b
No olvide demostrarlas.
Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros
tipos de intervalos.
6.2.2INTERVALOS SIMÉTRICOS

I = [− a, a ] = {x / − a ≤ x ≤ a donde x ∈ R} = {x / x ≤ a}
PREGUNTA: ¿A QUÉ INTERVALO SE REFIERE EL CONJUNTO?

{

}

I = x / x ≥ a donde x ∈ R

Bien empecemos a tratar a las ecuaciones o igualdades.

6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA

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Ecuaciones

Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que
tienen una incógnita “ x ”, y usualmente estánestructuradas de la
siguiente manera:

Expresión

Expresión

algebraic

algebraic

=

a en “ x ”

a en “ x ”

MIEMBROS

6.3.1 LEYES

En una igualdad, sin alterarla, usted puede:
1. Sumar o restar una misma cantidad a
ambos miembros. Es decir:

Si a = b , entonces a + c = b + c ; para todo
c∈R

2. Multiplicar una misma cantidad a ambos
miembros. Es decir:

Si

a=b

entonces

a⋅c = b⋅c ;

para

todo c ∈ R3. Dividir una misma cantidad (diferente
de cero) a ambos miembros. Es decir:

Si a = b entonces

a b
= ;
c c

para todo

c∈R ∧c≠0

6.3.2. E CUACIONES DE P RIMER G RADO (ECUACIONES LINEALES)
Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya
expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma:

p ( x) : ax + b = 0
conjunto solución Ap( x) = ?

a≠0

Determinemos

su

ax
a/
a/
x127

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Ecuaciones
 b
entonces Ap ( x) = − 
 a

Despejando “ x ” tenemos:

Prueba: si reemplazamos el valor de “ x ” en la ecuación dada, entonces:
 b
a/  −  + b = 0
 a/ 
0=0

Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo
elemento, es decir existe un sólo valor para x que satisface la
ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa.Ejercicio resuelto
El valor de " x " que se obtiene al RESOLVER la ecuación :
5 x − 22

11
5
− 2
− =0
x − 6 x + 9 x − 3x x
b) −4
c) 4
d) 26
e) 12
2

es:

a) −26

SOLUCIÓN:
Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego " x "

5 x − 22
x − 6x + 9
2

−

11
x − 3x
2

−

5
5 x − 22
11
5
=0≡
−
− =0
x
( x − 3)( x − 3) x( x − 3) x
≡

5 x 2 − 22 x − 11( x − 3)...