Cap. I El Sistema De Los Números Reales (Estudiantes)
Páginas: 10 (2376 palabras)
Publicado: 27 de enero de 2013
El sistema de los números reales
Algunos conjuntos numéricos, con lo que trabajamos todos los días son:
Números naturales (IN)
[pic]
Números enteros [pic]
[pic]
Números racionales[pic]
[pic]
Los números racionales tienen la característica que su expresión decimal es finita o infinita pero periódica.
Números irracionales (I)
Está formado por todos los números cuyaexpansión decimal en infinita y no periódica.
[pic]
Es importante mencionar que a intersección del conjunto de los números irracionales y el conjunto de los números racionales es vacío.
Números reales (IR)
Este conjunto es la unión del conjunto de los números racionales e irracionales.
[pic][pic]
[pic]
[pic] [pic]
Características de los conjuntos numéricos
Conjunto discreto
Entre dos elementos del conjunto no siempre existe un elemento de dicho conjunto.Conjunto denso
Entre dos elementos del conjunto siempre existe al menos un elemento de dicho conjunto.
Conjunto continuo
La representación de sus elementos en la recta numérica no dejan agujeros en la misma.
Conjunto completo
Existe una correspondencia biunívoca, o sea, uno a uno, entre los puntos de la recta numérica y los elementos del conjunto.
De acuerdo a estas característicasson
Conjuntos discretos: IN, [pic].
Conjuntos densos: [pic]
Conjunto continuo: IR.
Conjunto completo: IR.
Propiedades de IR
Sean [pic]
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic] si ad = bc; [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
Ejemplos
Efectúe lassiguientes operaciones y simplifique los resultados.
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Potencias con exponentes en IR
Para [pic] y [pic], se define [pic] como
[pic]
Recuerde que
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic] no está definido.
4. [pic] no está definido.
Leyes de potencias para exponentes enteros
Para [pic] y [pic]
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
Recuerde que en una potencia
- Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
- Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
- Si la base es positiva y el exponente es par o impar, el resultado es positivo.
Ejemplos
Aplique leyes de potencias para resolver lassiguientes expresiones. Suponga todas las expresiones bien definidas en IR:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
Radicación
Sea x un número real y n un número natural mayor que 1. Entonces
a) Si [pic] entonces [pic].
b) Si [pic] entonces [pic] es un número real positivo p tal que [pic].
c)Si [pic] y n es un número impar entonces [pic] es un número real negativo p tal que [pic].
d) Si [pic] y n es un número par entonces [pic] no es un número real.
Para los casos a), b) y c) escribimos
[pic]
La expresión [pic] se llama radical; n recibe el nombre de índice y x se denomina subradical o radicando.
Propiedades de las expresiones radicales
Consideremos [pic] y [pic].Supongamos, además, que dichas expresiones están definidas en IR y que cumplen con la definición anterior, según sea el valor del índice.
Se cumple entonces que
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic] si n es impar
9. [pic] si n es par
10. [pic]
11. [pic]
Potencias con exponente fraccionario
Sea...
Algunos conjuntos numéricos, con lo que trabajamos todos los días son:
Números naturales (IN)
[pic]
Números enteros [pic]
[pic]
Números racionales[pic]
[pic]
Los números racionales tienen la característica que su expresión decimal es finita o infinita pero periódica.
Números irracionales (I)
Está formado por todos los números cuyaexpansión decimal en infinita y no periódica.
[pic]
Es importante mencionar que a intersección del conjunto de los números irracionales y el conjunto de los números racionales es vacío.
Números reales (IR)
Este conjunto es la unión del conjunto de los números racionales e irracionales.
[pic][pic]
[pic]
[pic] [pic]
Características de los conjuntos numéricos
Conjunto discreto
Entre dos elementos del conjunto no siempre existe un elemento de dicho conjunto.Conjunto denso
Entre dos elementos del conjunto siempre existe al menos un elemento de dicho conjunto.
Conjunto continuo
La representación de sus elementos en la recta numérica no dejan agujeros en la misma.
Conjunto completo
Existe una correspondencia biunívoca, o sea, uno a uno, entre los puntos de la recta numérica y los elementos del conjunto.
De acuerdo a estas característicasson
Conjuntos discretos: IN, [pic].
Conjuntos densos: [pic]
Conjunto continuo: IR.
Conjunto completo: IR.
Propiedades de IR
Sean [pic]
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic] si ad = bc; [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
Ejemplos
Efectúe lassiguientes operaciones y simplifique los resultados.
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Potencias con exponentes en IR
Para [pic] y [pic], se define [pic] como
[pic]
Recuerde que
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic] no está definido.
4. [pic] no está definido.
Leyes de potencias para exponentes enteros
Para [pic] y [pic]
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
Recuerde que en una potencia
- Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
- Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
- Si la base es positiva y el exponente es par o impar, el resultado es positivo.
Ejemplos
Aplique leyes de potencias para resolver lassiguientes expresiones. Suponga todas las expresiones bien definidas en IR:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
Radicación
Sea x un número real y n un número natural mayor que 1. Entonces
a) Si [pic] entonces [pic].
b) Si [pic] entonces [pic] es un número real positivo p tal que [pic].
c)Si [pic] y n es un número impar entonces [pic] es un número real negativo p tal que [pic].
d) Si [pic] y n es un número par entonces [pic] no es un número real.
Para los casos a), b) y c) escribimos
[pic]
La expresión [pic] se llama radical; n recibe el nombre de índice y x se denomina subradical o radicando.
Propiedades de las expresiones radicales
Consideremos [pic] y [pic].Supongamos, además, que dichas expresiones están definidas en IR y que cumplen con la definición anterior, según sea el valor del índice.
Se cumple entonces que
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic] si n es impar
9. [pic] si n es par
10. [pic]
11. [pic]
Potencias con exponente fraccionario
Sea...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.