Cap6

Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico
Prácticas
Capítulo 6. Problemas en varias dimensiones espaciales.

6.1 Solución por elementos finitos de la ecuación del calor en un recintocircular
Vamos a resolver la ecuación del calor usando el método de elementos finitos, dejando que
matlab haga todos los cálculos.
El comando básico que resuelve ecuaciones del calor es:u=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);
Este comando produce una aproximación mediante el método de elementos finitos de la
ecuación en derivadas parciales tipo parabólico:
d u t − ∇(c∇u) + a u = f ,

Ω ⊂R2,

t > 0,

los argumentos de entrada son:
Valor inicial
Lista de tiempos en los que guardamos la solución
(independiente de la precisión de la solución)
b
Texto que describe las condicionesde frontera
p,e,t
Describen el mallado que usaremos para aproximar la solución
(lo explicaremos más adelante)
c,a,f,d Coeficientes de la ecuación
(serán matrices o números dependiendo de si loscoeficientes son constantes)
u0
tlist

Consideramos la ecuación:
ut = k ∆u = k (ux x + u y y)

(1)

en un disco circular D de centro 0 y radio 1, con k = 0.1 con datos de frontera:
u(x, y, t) = 0(2)

(x, y ) ∈ ∂D, t > 0

y con distribución inicial de temperatura:
1

u(x, y, t) = f (x, y ) =

1

1 + cos(2πd) si d = |(x, y ) − ( 2 , 0)| < 2
0
en otro caso

(3)

Vamos adefinir los parámetros para ejecutar el comando parabolic para nuestra ecuación 1:
g=’circleg’; % Define el circulo D de centro 0 y radio 1
b=’circleb1’; % Condiciones Dirichlet homogéneas
c=.1;
a=0;f=0;
d=1;

1

Mallado
El primer paso para usar un método de elementos finitos es descomponer el dominio en
partes lo suficientemente pequeñas. Habitualmente, el dominio se descompone en triángulos.% Crea un mallado del cuadrado y lo guarda en las variables p, e y t
[p,e,t]=initmesh(g);
Veamos el mallado que ha creado:
pdeplot(p,e,t,’mesh’,’on’)

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4...