Capitalizacion Simple Y Compuesta

Matemáticas Financieras

Capítulo 2. La capitalización simple y compuesta.
2.1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE. La característica fundamental de la capitalización simple es que los intereses no son productivos, no se acumulan al capital principal para producir nuevos intereses, permaneciendo constante el principal. Los intereses de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración de la operacióny a la cuantía del capital invertido o colocado. La capitalización simple suele utilizarse para períodos inferiores al año. Los conceptos que vamos a utilizar son los siguientes: • • • •
Co : Capital invertido o inicial. Cn : Capital final, proyectado o montante obtenido una vez transcurrido el periodo pactado. n : Unidad temporal. Tiempo que dura la operación financiera. i : Tipo de interés.Representativo del rendimiento o beneficio, expresado en tantos por ciento, que se obtiene al invertir cien unidades monetarias, durante un sólo período. Al operar con esta variable siempre se empleará el tanto por uno. I : Interés. Rendimiento o beneficio asociado a un intervalo temporal, representado en unidades de cuenta, que se obtiene al invertir una cuantía monetaria, a un tipo de interésconcreto y durante un espacio temporal determinado. El interés correspondiente a cualquier período será el resultado de multiplicar el capital inicial Co por el tanto de interés i .

•

2.1.1. FORMULACIÓN. Supongamos que invertimos un capital Co , en capitalización simple, a un tanto anual unitario i , durante 1,2,3,.........,n períodos. El interés producido en cada período será el resultado demultiplicar el capital invertido por el tipo de interés asociado a cada intervalo de tiempo, ( Co . i ).
Co
Co . i Co . i Co . i

Cn Co . i

0

1

2

3

n

Calculemos el capital final o montante al cabo de esos períodos. Para ello tendremos que sumar al capital inicial el interés correspondiente a los períodos transcurridos, desde que se realizó la inversión hasta el momentoconcreto.

1

Matemáticas Financieras De esta forma: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 .i = C0 .(1 + i ) C2 = C0 + I 2 = C0 + C0 .i + C0 .i = C0 .(1 + 2i ) C3 = C0 + I 3 = C0 + C0 .i + C0 .i + C0 .i = C0 .(1 + 3i ) ............................................................................... ............................................................................... Cn = C0 + I n = C0 + C0 .i + C0 .i + C0.i + .... + C0 .i = C0 .(1 + n.i )

Por lo tanto, si la inversión tiene una duración de n períodos, a un tipo de interés i , el montante o capital final obtenido será el resultado de añadir, al capital inicial Co , el interés correspondiente a todos los intervalos:

Cn = Co(1 + ni ) = Co + Co.n.i
Expresión general de la capitalización simple que nos indica el capital final Cn obtenido, alinvertir un capital inicial Co , impuesto a un tipo de interés unitario i simple, durante n períodos. El interés total de una operación financiera vendrá dado por la diferencia entre el capital invertido en el momento de realización de la misma y el capital obtenido, una vez finalizada la misma.
I = Cn − Co I = Co(1 + ni ) − Co

Sacando factor común Co nos quedaría:

I = Co.(1 + ni − 1) =Co.n.i
que nos servirá para calcular el interés global de la operación, conocido el capital inicial, el tiempo que dura la inversión y el tanto unitario de interés simple. También lo podríamos expresar en función del capital final.
I = Cn − Co

I = Cn −

Cn (1 + ni )

I=

Cn + Cn.n.i − Cn Cn.n.i = (1 + ni ) (1 + ni )

Si deseamos determinar el tipo de interés y el tiempo al que estuvoinvertido un capital, sabiendo que alcanzó un proyección en un momento determinado de Cn , procederemos partiendo de la expresión genérica de la capitalización simple:

2

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1.- Para el caso del tipo de interés i , vendrá dado por el resultado de dividir el interés total entre el producto del capital inicial por el tiempo.

Cn = Co.(1 + ni) Cn = Co + Co.n..i Cn − Co =...