Capoeira

Cap´ ıtulo 1 Topolog´ inicial ıa
1.1 Topolog´ producto ıa

En el tema 1 se construy´ dos formas de tener nuevos espacios topol´gicos a partir o o de otros dados. As´ se defini´ de forma natural una estructura topol´gica en los ı, o o subconjuntos de un espacio topol´gico, y que se denomin´ subespacio topol´gico. o o o Por otro lado, en los ejercicios del mismo cap´ ıtulo se dot´ de una topolog´a un o ıa conjunto que era biyectivo con un espacio topol´gico. En este cap´ o ıtulo se introduce la construcci´n de nuevos espacios topol´gicos a partir del producto cartesiano de o o ellos. Concretamente, dados dos espacios topol´gicos (X1 , τ1 ) y (X2 , τ2 ), es natural o preguntarse si es posible construir en el producto cartesiano X1 × X2 una topolog´ ıa relacionada con τ1 y τ2 . Para laconstrucci´n del producto topol´gico, se analizan o o algunos aspectos que tendr´ que satisfacer dicho espacio: ıa ıdeo R2 = R × R como producto cartesiano de 1. Se puede pensar en el plano eucl´ la recta real R con su topolog´ usual. Es de esperar que la topolog´ producto ıa ıa 2 que se construya en R coincida con la topolog´ usual. ıa 2. Sup´ngase que X1 y X2 son dos espacios topol´gicos y seconsidera las aplicao o ciones proyecciones pi : X1 × X2 → Xi , i = 1, 2, definidas por pi (x1 , x2 ) = xi , i = 1, 2. La topolog´ producto tendr´ que hacer continuas a estas apliıa ıa caciones. Por otra parte, el estudio de la continuidad de una aplicaci´n o f : Y → X1 × X2 tendr´ que ser equivalente a la continuidad de sus apliıa caciones coordenadas f = (f1 , f2 ), con fi = pi ◦ f , i = 1, 2. 1

2CAP´ ITULO 1. TOPOLOG´ INICIAL IA 3. Se deber´ obtener resultados ”naturales”, como por ejemplo, si X1 ∼ Y1 y ıan = ∼ Y2 , entonces X1 × X2 ∼ Y1 × Y2 X2 = = o 4. Si A y B son dos subconjuntos de dos espacios topol´gicos X1 y X2 respectivamente, en el producto cartesiano A × B habr´ dos topolog´ la topolog´ ıa ıas: ıa producto de las topolog´ relativas y la topolog´ inducida en A × B de la ıasıa topolog´ producto de X1 por X2 . Es natural esperar que estas dos topolog´ ıa ıas coincidan.

Volviendo al caso R2 = R × R, en un primer momento uno puede pensar que los conjuntos abiertos de R2 en la topolog´ producto tienen que ser producto cartesiano ıa de conjuntos abiertos de R. R´pidamente se observa que no es una buena tentativa, a 2 pues las bolas de R (que son conjuntos abiertos) noson producto de abiertos: recu´rdese que los conjuntos abiertos de R son uniones de intervalos abiertos, de e manera que al hacer productos cartesianos resulta una especie de ”rect´ngulos”, a pero no bolas. Sin embargo, para cada punto de una bola abierta, s´ se puede introducir un ı ”rect´ngulo” abierto en la bola, es decir, un producto de intervalos (v´ase figura a e 1.1). Esto da pie a pensar enconstruir la topolog´ producto mediante una base ıa suya, concretamente, la topolog´ que se va a construir en R2 va a tener como base ıa la familia formada por los productos de intervalos abiertos. En el caso general, se probar´ primero que el producto de abiertos es base de cierta topolog´ y es a esta a ıa topolog´ a la que se llamar´ topolog´a producto. ıa a ı

y

x
Figura 1.1: Losrect´ngulos son base de abiertos de R2 . a Proposici´n 1.1.1 Sean dos espacios topol´gicos (X1 , τ1 ) y (X2 , τ2 ) y se considera o o la familia de subconjuntos de X1 × X2 formada por τ1 × τ2 = {O1 × O2 ; O1 ∈ τ1 , O2 ∈ τ2 }.

1.1. TOPOLOG´ PRODUCTO IA

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Entonces τ1 × τ2 es base de una topolog´a en el conjunto X1 × X2 . La topolog´ en ı ıa X1 × X2 que tiene por base τ1 × τ2 se denomina topolog´producto de τ1 y τ2 y se ıa notar´ de nuevo por τ1 × τ2 . a Demostraci´n : o • La primera propiedad es evidente, pues X1 × X2 ∈ τ1 × τ2 .

• Sean O1 × O2 y O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 y (x1 , x2 ) ∈ (O1 × O2 ) ∩ (O1 × O2 ). Entonces el propio conjunto (O1 × O2 ) ∩ (O1 × O2 ) pertenece a τ1 × τ2 , ya que (O1 × O2 ) ∩ (O1 × O2 ) = (O1 ∩ O1 ) × (O2 ∩ O2 ). q.e.d Se relaciona ahora bases de abiertos y bases...