Capturas

Aplicaciones geométricas.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
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Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta
y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3
f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1
El punto detangencia es P(1, 2)
La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1) y = -3x + 5

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).
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Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primercuadrante (recta y = x ).
La pendiente de la recta dada es m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente: y − 1 = x y = x +1
Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

Si f es derivable en a:
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Decrecimiento

Si f es derivable en a:
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Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si
-La función existe enese punto.
-En x=a la función pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si
-La función existe en ese punto.
-En x=a la función pasa de ser decreciente a creciente.

Ejemplo1 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.
f'(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)
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4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 esdecreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0
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5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) [pic](1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)

¿Dónde se encuentran losmáximos y mínimos de esta función?

Ejemplo2 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

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¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?

Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se planteauna ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

De todos lostriángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
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La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
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Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y

Sustituimos en la función:
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Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
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Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
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Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

ACTIVIDADES APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Recta tangente y normal.
1.-Calcular los puntos en que la tangente a la...