Caracteristicas De La Hipérbola

CARACTERISTICAS DE LA HIPÉRBOLA:

1... La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

2... Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje realy se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.

3... La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dosfocos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.

4... La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a.

5... La hipérbola, como la elipse,se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco.

6... Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

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1. Los focos y los vértices de una hipérbola sonlos puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.  
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SOLUCIÓN | |
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Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .  |
fig. 6.5.13. En este caso: a = 4; c = 5, de donde  (Ver fig. 6.5.13.)  En consecuencia, la ecuación de la hipérbolaes: .  Ahora,        Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,   |

Ejemplos

Hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesacon pantalla troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

  |  Definición  |
| Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante. |
 
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola endos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

Figura 1.
 
  |  Teorema (ecuación canónica de la hipérbola) |
  | La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es
con eje transversalhorizontal. Y
con eje transversal vertical. |
 
  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además  
 
Figura 2.
 
Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en
Los vértices están en
Los focos están en .
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entoncesEl centro está en
Los vértices están en .
Los focos están en .
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en .El segmento recto de longitud 2b  que une se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema...