cardinal

Segunda Ecuación Cardinal
En este capítulo vamos a profundizar en el estudio de la
dinámica de rotación de los cuerpos.

Incorporamos dos nuevos conceptos:
• Momento de una fuerza.
• Momento angular

Modelo de partícula (M de P): Momento de una fuerza
z

Mo = r Λ F
Mo
F
r
P

x

y

φ

Módulo: Mo = r F sen φ
Dirección: perpendicular al plano que determinan r y F
Sentido:Regla de la mano derecha

Mo = r Λ F

Momento de una fuerza
Mo = r Λ F

F φ
F//

Fn
P
r
O

rn
d

Mo = (r// + rn) Λ F
Mo = r// Λ F+ rn Λ F

r//

Mo = rn Λ F
Mo = d F
Plano α

Mo = r Λ (F//+Fn) = r Λ F//+ r Λ Fn = r Λ Fn
Mo = d F = r Fn

Momento máximo: Momax = r F (sen φ) max.  sen φ= 1
 φ= ∏/2
r

P

x
Mo
(entra al pizarrón)

F
F

r

P
Mo

Mo = rΛ F

(sale del pizarrón)

Mo = r Λ F

Momento mínimo: Momin = r F (sen φ) min

 sen φ= 0

 φ= 0° ó
F

r
P

O

Plano α

Ejemplo

F

P

r
O

Plano α

φ= 180°

Momento resultante de la fuerzas actuantes sobre una particular

z

F3

F2
F1

r

∑Mo = Mo 1 + Mo 2 + Mo 3 + …………+ Mo n
∑Mo = r Λ F1 + r Λ F2 + rΛ F3 +
…………+ r Λ Fn

∑F
Fn

y
O
x
Momentoresultante

∑Mo = r Λ (F1 + F2 + F3 + …………+ Fn)

∑Mo

=

=

r Λ ∑F

Momento de la resultante

M de P: Vinculación del Momento de la fuerza resultante que
actúa sobre una partícula y el momento angular de la misma
∑F =

z
P

r

v

r Λ ∑F = r Λ

p

r Λ ∑F =

∑F
y

O

= 0

∑Mo
x

= r Λ

+
= v

Λ p
= mv

M de P: Vinculación del Momento de la fuerzaresultante que
actúa sobre una partícula y el momento angular de la misma

r Λ ∑F =
=

∑Mo

: Momento angular de la partícula

∑Mo =

La variación respecto al tiempo del momento angular de una partícula
es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la
misma
∑Mxo =
∑Myo =
∑Mzo =

M de P: Consideraciones acerca del momento
angular de una partícula
lo

loMódulo: lo = r p sen φ= r m v sen φ
Dirección: perpendicular al plano que determinan r y p
Sentido: Regla de la mano derecha

M de P: Conservación del momento angular de una partícula
 lo = cte

si ∑Mo = 0
∑Mo

=

r Λ ∑F = 0

Esta condición se satisface si:
1. La fuerza resultante es nula (∑F = 0)  partícula libre
m

φ
v= cte

sen φ = d/r

d

d = r sen φ

rtrayectoria

lo

lo x

Módulo: lo = r p sen φ= r m v sen φ = m v (rsen φ) = mvd =cte

2. Si la dirección de la fuerza resultante es paralela a la dirección de la
posición.
∑F // r 
r F sen 0° = 0 ó
Fuerzas centrales: si su
dirección pasa siempre por
r F sen 180° = 0
un punto fijo
z

∑F
0=

m
r
lo = cte

v

m

 lo = cte

∑F

r
y

O
x

Cuando una partícula se muevebajo la acción de una Fuerza
central, su momento angular se conserva

Fuerzas centrales

Veamos el movimiento de una partícula de masa m sometida a una fuerza
resultante central:

 lo = cte
 

lo = constante en módulo, dirección y sentido
La trayectoria de la partícula será una curva plana

Módulo: lo = r m v sen φ

y
90°

h

ds

dA

r
O



p

∑F

donde sen φ= h/r  r sen φ = h
m

 lo = m v h = cte
trayectoria

x

 v h = cte

y

Como puede observarse en el
gráfico, el área del triangulo azul:
90°

h

ds

dA

r
O



p

∑F

dA= base altura /2= (ds h)/2

m

 2 dA= ds h
x




2 dA/dt= ds/dt h
dA/dt= ½ v h = cte.

 dA/dt= cte.

velocidad areolar.

Una partícula sometida a la acción de una fuerzasresultante central se
mueve por una curva plana con una velocidad areolar constante.

S de P: Momento angular total. Segunda ecuación cardinal
z

∑Fie
mi

ri

S= compuesto por n partículas

fji
fij
rj

∑Fje

mj

y

x

Aplicando la 2ª Ley de Newton a cada una de las partículas:
∑F1 = ∑F1e + f21 + f31 + ………….. + fn1

=

m1 a1

∑F2 = ∑F2e + f12 + f32 + ………….. + fn2...