Cardinalidad

Cardinalidad de enteros y naturales
Sean A y B conjuntos
Se define una relación de A en B como un subconjunto de A×B, si (a, b) ∈ R
se escribe aRb y se dice que a esta relacionado con b
Unafunción de A en B es una relación f de A en B tal que
∀a ∈ A∃!b ∈ B tal que afb
es decir, para cada elemento de A existe un ´único elemento de B tal que
están relacionados se acostumbra escribir f(a)= b y se dice que b es del valor de f en a
también se utiliza la notación
f : A → B
Definición- Una función se dice que es inyectiva si
∀a, b ∈ A f(a) = f(b) ⇒ a = b
es decir, a elementosdistintos imágenes distintas
por ejemplo, la función f(x) = x2 no es inyectiva porque f(−1) = f(1) pero
1 distinto de −1
Definición- Una función se dice que es suprayectiva si
∀b ∈ B ∃a ∈ A talque f(a) =b
es decir, todo elemento del contradominio viene de algún (no necesariamente
distinto) elemento del dominio
Definición- Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva
a lavez
∀b ∈ B ∃!a ∈ A tal que f(a) = b
es decir, todos los elementos del dominio van a algún elemento del contradominio
y distintos podríamos pensar que sólo existen funciones biyectivas entreconjuntos de
la misma cardinalidad lo cual es cierto por la definición de función biyectiva
Definición- Un conjunto A se dice que es finito si existe una función biyectiva
de los números naturales a A
f :{1, ..., n} → A
y se dice que A tiene cardinalidad n
Ahora con esto que ya vimos, vamos a intentar una cosa bastante divertida:
construir una función biyectiva de los naturales a los enteros, side hecho
1. Se logra esto entonces estaríamos probando que los enteros y los naturales
tienen la misma cardinalidad
primero recordemos quienes son los enteros
{... − 5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4,5...}
y los naturales
{1, 2, 3, 4, 5...}
Parece ser que los enteros son los naturales mas algo más; a pesar de esto,
intentemos construir la función, pero antes hagamos un pequeño ejemplo...