carpeta de matematicas frank

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen mas de dos magnitudes que mantienen entre si relaciones de proporcionalidad.
Para resolver ejercicios en los que aparecen tres magnitudes, debemos relacionar la magnitud de la que desconocemos un valor con una de las magnitudes dadas dejando la otra fija –resultando un caso deproporcionalidad simple, directa o inversa, y después se relaciona la magnitud que permaneció fija con la del valor desconocido.
Veámoslo con un ejemplo:
EJEMPLO
Proporcionalidad directa- directa:
Un campamento de verano para 120 jóvenes durante 15 días tiene unos gastos de 28800 euros. ¿ A cuánto ascienden los gastos de 150 jóvenes durante 10 días?
Gastos
28800
XN de personas
120
150
N de días
15
10

Si el número de días se mantiene fijo, a mayor número de personas le corresponden mayores gastos: doble número de personas, doble gasto; triple número de personas, triple gastos; a la mitad, la mitad,…. Lo mismo sucede si el número de personas no varía: al doble número de días,doble gasto; al triple número de días, triple gasto; a la mitad, la mitad,…. Por lo tanto, los gastos y el número de personas son magnitudes directamente proporcionales y los gastos y el número de días, también.
Haciendo uso de las propiedades de la proporcionalidad directa, calcularemos el gasto de una sola persona en los 15 días, y a continuación el gasto de una persona por día. Una vez quesabemos cuánto gasta 1 joven por día de campamento, basta con multiplicar por los nuevos números de días y de jóvenes.

JOVENES
DIAS
GASTOS
120
15
28800
1
15
28800/120 = 240 Euros
1
1
240/15= 16 Euros
110
16.10= 160 Euros
150
10
160.150= 24000 gastos



Las operaciones efectuadas para hallar el valor pedido x son:


Podemos concluir deduciendo una fórmula para obtener el valor desconocido de una magnitud en un problema de proporcionalidad compuesta, donde aparecen otras dos magnitudes directamente proporcionales a la primera (PROPORCIONALIDAD DIRECTA-DIRECTA). Si la relación entre las tres se muestra en la siguiente tabla:
Magnitud 1
a
X
Magnitud 2
b
b’
Magnitud 3
c
c’

Entonces,

Un problema de proporcionalidad compuesta donde se relaciona una magnitud con dos más, una directa y la otra inversamente proporcional a la primera (proporcionalidaddirecta- inversa), tal como muestra la siguiente tabla:
Magnitud 1
a
x
Magnitud 2
b
b’
Magnitud 3
c
c’

Se resuelve hallando el valor desconocido x mediante la fórmula:



Ejemplo
Si 5 palas excavadoras desmontan un terreno de 7500 m2 en 9 días ¿cuantos días tardarán 3 de esas máquinas paradesmontar un terreno de 6000 m2?
N DE MAQUINAS
SUPERFICIE
N DE DIAS
5
7500
9
3
6000
X

Con un número fijo de máquinas, desmontar doble o triple superficie de terreno llevara doble o el triple números de días, respectivamente. Por lo tanto la relación de proporcionalidad entre la superficie y el número de días es directa. Ahora bien, una misma superficie de terreno, se desmontara con el doble otriple cantidad de máquinas en la mitad o la tercera parte de tiempo, respectivamente; esta relación de proporcionalidad es inversa.

Si 5 máquinas desmontan 7500m2 en 9 días, 3 máquinas lo harán:


Si 3 máquinas desmontan 7500 m2 en 15 días, en desmontar 6000 m2 tardaran:


Por lo tanto, el valor pedido se halla en la operación:

Ejercicio propuesto
Un grupo de amigos recorren 350 km en 12 días...