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CAPÍTULO IV
CENTROIDES, CENTROS DE GRAVEDAD Y MOMENTOS DE INERCIA

4.1 Primer momento de líneas y áreas: Seguramente muchas veces habrás intentado equilibrarte en un sube y baja de algún parque, o equilibrar un lápiz o una pluma sobre tu dedo o incluso una silla sobre una sola pata y también habrás visto algunos espectáculos de equilibrio en algún circo; cuando andas en bicicleta te debesinclinar cuando tomas una curva, en todos esos casos lo que nuestro instinto busca es el centro de gravedad también llamado centro de masa y centroide y que es el punto en el que se considera que todo el peso o toda la masa de un cuerpo se concentra. Un ejemplo de esto lo puedes experimentar cuando colocas sobre un autobús que está detenido una botella, cuando éste arranca experimenta un “jalón”hacia atrás que no solo lo desliza sino que también lo hace volcarse, ya que la fuerza inercial F=ma actúa en el centro de gravedad de la botella que se encuentra como a la mitad de su altura y produce un momento de volteo respecto al apoyo que es el piso; las leyes de Newton nos enseñan que si un cuerpo se acelera o desacelera (frena), se produce sobre él una fuerza en sentido contrario a suaceleración a la que llamamos fuerza de inercia (F=ma); es el caso por ejemplo, de lo que experimentamos en un autobús cuando vamos parados y éste arranca o frena...¿Pero, por qué tendemos a caernos (girando respecto al piso), si la fuerza de rozamiento se ejerce entre nuestros zapatos y el piso?...La razón es que la fuerza de inercia actúa en el centro de gravedad (¿o centroide?), de nuestro cuerpo yeso produce el momento de volteo.
Veremos a continuación una forma analítica de determinar el centroide de una pieza cualquiera; imagina por ejemplo que el siguiente dibujo representa una papa…si de esas que se comen, que tiene un peso W y que tiene su centro de gravedad o que se equilibra en el punto CG que se encuentra a la distancia XCG del eje Y, y que produce un momento:
M= XCG x W
Siahora sacamos rebanadas muy delgaditas de la papa, tendríamos más o menos lo que en matemáticas conocemos como un elemento diferencial del peso en este caso: dW. Estarás de acuerdo en que si sumamos los momentos que producen cada una de las rebanadas, éste será igual al que produce la papa completa:
XCG×W=12Xn×dWn
en donde Wn es cada una de las rebanadas; desde luego que es posible obtener unaecuación similar para los ejes Y y Z.
Esta simple expresión nos permite obtener la XCG de cualquier pieza, sin embargo en ingeniería es común trabajar con elementos homogéneos y de espesor constante, por lo que podemos obtener una expresión más simple como sigue:
Si tomamos en cuenta que el peso específico viene dado por ϒ=WVol=WtA o ϒ=dWdVol=dWtdA entonces W= ϒ x tA y dW= ϒ x tdW quepodemos sustituir en la ecuación anterior:
XCG×ϒ x tA=12Xn×ϒ x tdA … y como ϒ x t aparece en ambos lados de la ecuación podemos eliminarlos y nos quedará:
XCG×A=12Xn×dA
Que es la misma expresión pero como función del área y no del peso: No olvides que es aplicable sí sólo si el material de la pieza es homogéneo y de espesor constante.
Pero por lo general en ingeniería las piezas que utilizamos sepueden dividir en elementos sencillos como rectángulos triángulos, círculos, segmentos circulares y parabólicos entre otros, para los cuales ya tenemos definidos los centroides; esta división es necesaria dado que no siempre hay continuidad de un elemento al otro. La ecuación a emplear se convierte en:
ΣXCGT x AT= 1nXCGn x An
Que es básicamente la misma ecuación que como recordarás la integrales en sí una suma.
Veremos adelante un ejemplo de este método y la conveniencia de utilizar una tabla para facilitar el análisis.
4.2 Segundo momento de área: En el caso de cuerpos en rotación existen también ecuaciones equivalentes de la segunda ley de Newton en las que aparece el término momento de inercia (T=I); en ésta T es el par de giro en lugar de la fuerza y es también una respuesta...