Catenaria

Catenaria



Curva formada por una cadena que cuelga libremente.
Su involuta es la tractiz.


Deducción de la ecuación
Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvasimportantes en la Física y en las Matemáticas.
La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
Formulación discreta
Sea una cadena de bolitasmetálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas lascomponentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.
Tx=Tcosq0= Tcosqi= Tcosqi+1 =TcosqN+1
Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo q i y el ángulo q i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g . La relación derecurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.
tanq1=tanq0-g
tanq2=tanq1-g
tanq3=tanq2-g
...............
tanqi=tanqi-1-g
.............
tanqN-1=tanqN-2-g
tanqN=tanqN-1-g
Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qN en función del ángulo inicial q0.
tanqN=tanq0-Ng
Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que
tanq0=- tanqN
Por tanto,tanq0=Ng /2
Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo qi en función del ángulo inicial q0.
tanqi=tanq0-g i=(N-2i)•g /2
El ángulo qi que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial q0 y el final qN se calculan mediante la siguiente fórmula

Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i seobtendrán sumando las proyecciones d•cosq j y d•senq j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)


Actividades
Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet
El número de bolitas, un númerocomprendido entre 3 y 20.
El valor del parámetro g , un número comprendido entre 0.5 y 2.0 que representa el cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo.
Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.


Catenaria simétrica
Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y quedistan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:
el peso,
la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento,
la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho Pdel segmento s.
La condición de equilibrio se escribe
Tcosq =T0
Tsenq =r gs
O bien,

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2
(1)
Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

Como...