CCA8 C NICAS

CÓNICAS
En primer lugar es conveniente responder la siguiente pregunta:
¿Qué son las cónicas?
Como se puede observar en la figura siguiente, si colocamos 2 conos, uno invertido encima del
otro, podemos obtener algunas formas cortando con un plano; esto es:





Si cortamos con un plano paralelo a la base, obtenemos una CIRCUNFERENCIA.
Si cortamos con un plano inclinado, cortando la base delcono, obtenemos la PARÁBOLA.
Si cortamos con un plano inclinado sin cortar la base del cono, obtenemos una ELIPSE.
Y si cortamos con un plano inclinado cortando ambas base de los conos, se obtiene la
HIPÉRBOLA.

Aunque estudiarlas puede ser muy interesante, para el desarrollo de este curso sólo
profundizaremos en el estudio de la circunferencia y la parábola.
CIRCUNFERENCIA: Se llama circunferenciaal lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. Esa distancia se denomina radio.

Para determinar la ecuación que describe esta circunferencia, es
necesario recurrir al Teorema de Pitágoras, puesto que, si una
circunferencia está formada por todos los puntos que están a una
misma distancia de un punto llamado centro, es necesario
encontrar unaexpresión para el radio.

Si observamos la figura, se forma un triángulo rectángulo donde
los catetos son: (x – h) e (y – k) respectivamente y como r
representa la hipotenusa de este triángulo, podemos aplicar la
fórmula del teorema antes mencionado, lo cual queda:

Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación principal de
la circunferencia.
Si el centro de la circunferencia está en el centro delplano, los
valores de éste estarán dados por
por lo que la
ecuación quedará:

Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación canónica.

Si en la ecuación principal se desarrollan los cuadrados de los paréntesis y se agrupa la
información igualando a cero, se obtiene la ecuación de general de la circunferencia, como la
siguiente:

Donde

De la ecuación general de la circunferencia, se cumple que:
Elcentro está dado por las coordenadas
Y el radio está dado por la expresión

EJEMPLO: En el sureste de China, en la parte oriental de la provincia de Fujían, aún quedan más de
mil grandes casas circulares de los Hakka.
Por lo general, una casa redonda estaba
habitada por un clan. Su tamaño es muy
variable, de los 17 metros de diámetro de
la más pequeña, a los 91 metros de
diámetro la más grande.Estas últimas
suelen tener hasta cinco pisos, además de
un patio en el que se concentran algunas
construcciones comunes, como el altar de
los ancestros.

¿Es posible encontrar la ecuación de una circunferencia que se pueda superponer en una de esas
casas?
Podemos colocar el centro de nuestro sistema de coordenadas a conveniencia, en particular, lo
haremos en el centro de la casa de menor tamaño,por lo que nos quedaría una figura como la que
sigue:

En este caso el radio tiene medida de r = 8,5 metros,
puesto que es la mitad del diámetro (17 metros) y el
centro es
Por lo que la ecuación que describe la circunferencia es:

Si modificamos nuestro eje de referencia y lo ponemos a un
costado, nos resulta una figura como sigue:
Si observas, el centro de la circunferencia tiene otrascoordenadas, en este caso
Por lo que la formula queda como sigue:

Es posible desarrollar esta expresión de manera algebraica, a modo de eliminar los cuadrados de
los paréntesis…

Agrupando todo e igualando a cero, queda:

Recuerde que la posición de los ejes coordenados son una referencia, y por ende la ecuación que
describe la circunferencia va a depender de la posición de los ejes.

PARÁBOLA: Se llamaparábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo denominado FOCO y de una línea recta fija llamada Directriz.

Foco de la parábola es un punto fijo.
El vértice es donde hace un cambio brusco de dirección, además está
ubicado justo en la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.
Directriz es una línea recta ubicada a la misma distancia que el foco del...