C Nicas

INTRODUCCIÓN
Superficie cónica :
Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta
que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje .

Cónica :
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

Circunferencia.
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
puntofijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto
cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y
uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r
tendremos que :

despejando se tiene:

desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo:
 Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro (0,0) y pasa por (7,-9)

Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos F es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse,
mayor que la distancia entrelos dos puntos.

Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están
situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse
y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces
tendremos que :
PF + PF' = 2a

Resolviendo se tiene:

(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0

A partir del dibujo y aplicandoPitágoras podemos obtener que a 2 = b2 + c2 ( piensa que
cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la
ecuación se puede quedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 +p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la
ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los
términos A y B no tienen porqué ser iguales .
Otros elementos:

La excentricidad de una elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor; seencuentra entre cero y uno: e = c/a (0 < e < 1)

2b 2
Longitud del lado recto 
a
Longitud eje menor: 2b
Longitud eje mayor: 2a

Ejemplo:
 ¿Cuál es la distancia de un extremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?
Aplicación:
 Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol.
También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se creeque
este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
 Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando
hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
 En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya diferencia de distancias entre
dos puntos fijos F esconstante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están
situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse
y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces
tendremos que :
PF - PF' = 2a
Resolviendo obtenemos que :(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0

a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto
la ecuación se puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 -...