Centroides

OBJETIVO:
Recordar cómo se debe hacer un diagrama de cuerpo libre, cuales son los momentos de primer y segundo orden y como se deben de determinar los centroides ya sea por formula o por integración. Esto nos ayudará dentro de la materia de mecánica de fluidos cuando sepamos cómo aplicarlo.

DESARROLLO:
Diagrama de cuerpo libre:
Un diagrama de cuerpo libre, es undiagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un objeto o cuerpo en particular.
Este diagrama consiste en colocar la partícula que será analizada en el origen de un plano de coordenadas, las fuerzas que actúan sobre dicha partícula serán representadas por medio de vectores, todos ellos saliendo del origen o entrando a él.

Momento de primer orden.
También esconocido como momento estático, es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Los momentos de primero orden se representan con la letra “S”.
El momento estático de un sistema de masas respecto al eje x es igual al sistema de fuerzas paralelas al eje x que sustituyen a las masas multiplicadas por la distancia entre el eje x y la fuerza paralela. Esto es considerando que elbaricentro (G) no está en el eje x, si este se encuentra en el eje x el momento estático respecto al eje x es nulo.
S=m1y1+m2y2+m3y3= RyG
Si R=m1+m2+m3= ∑m
Por lo tanto: S= yG(∑m)



Por lo tanto para calcular el momento estático de un sistema respecto a una recta cualquiera del plano, es necesario conocer el baricentro y ∑m.

Momento de segundo orden:
También es llamadamomento de inercia, es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El momento de inercia refleja la distribución de masa en un cuerpo o en un sistema de partículas en rotación respecto a un eje de giro.
El momento de inercia depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de rotación. El momento de inercia se define como la suma de los productos de las masas por elcuadrado de la distancia “r” de cada partícula a el eje de rotación.
I= ∑mr2.
Pero cuando hablamos de un cuerpo con masa continua la fórmula se generaliza mediante integrales de la siguiente manera:






Momento de inercia axial:
Sea la superficie de área A representada en la figura , referida a un sistema de ejes coordenados “x,y”.

Se define como momento de inercia axial deA con respecto al eje “x” a :

I xy2 dA)

De igual modo el momento de inercia con respecto al eje “y” está dado por:

I y x2 dA



Momento de inercia polar:
Sea la superficie de área A representada en la misma figura, referida a un sistema de referencia de polo “o”.

Se define como momento de inercia polar de A con respecto al polo “o” a:

Io r 2 dA 
Se tendrá en cuenta nuevamente la figura en la que el polo “O” coincide con el origen de ejes coordenados x,y. El elemento dA tiene como coordenadas a “” en el sistema polar y a “x,y” en el sistema cartesiano, para los cuales se cumple lo siguiente:
 y2 x2

Haciendo una seria de sustituciones finalmente queda lo siguiente.
I Ix Iy
Teorema de ejes paralelos:El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
Ieje = Ieje+ Mh2
El momento de inercia también se puede calcular para áreascompuestas, pero se deben de seguir los siguientes pasos:
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por A1, A2, etc.
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes (xi,yi) con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el baricentro (xG,yG) de toda la figura formada por todas las áreas parciales...