certamen

Pauta 1o Certamen

Potencial El´
ectrico, Capacitores y Diel´
ectricos

CONSIDERACIONES GENERALES: Cada pregunta tiene como nota m´
axima un 7.0. La nota
final se tomar´
a como el promedio entre las notas de cada pregunta.
Problema 1 En los puntos A, B, C que corresponden a los v´ertices de un cuadrado de lado a = 0,1 [m], se
colocan las cargas puntuales −q, +q y −2q, donde q = 2 ·10−8 [C]:
Determinar la energ´ıa del sistema formado por las tres cargas.
El trabajo para trasladar una carga de 3 · 10−8 [C] desde el centro al v´ertice D.
Soluci´
on
a) La energ´ıa del sistema de cargas est´a dado por
U = UAB + UBC + UAC
donde
Uij =

qi qj
1 qi qj
1
=
4πǫ0 |ri − rj |
4πǫ0 r

con r es la distancia que separa las cargas qi y qj . Las energ´ıas involucradas son
(−2 ·10−8 )(2 · 10−8 )
1 qA qB
= 9 · 109
= −3,6 · 10−5 [J]
4πǫ0 rAB
0,1
1 qB qC
(2 · 10−8 )(−4 · 10−8 )
=
= 9 · 109
= −7,2 · 10−5 [J]
4πǫ0 rBC
0,1
(−2 · 10−8 )(−4 · 10−8 )
1 qA qC
= 9 · 109
=
= 5,1 · 10−5 [J]
4πǫ0 rAC
2 · 0,12

UAB =
UBC
UAC
Por lo tanto

U = UAB + UBC + UAC
= −3,6 · 10−5 − 7,2 · 10−5 + 5,1 · 10−5 [J]

= −5,7 · 10−5 [J]

b) El trabajo realizado paramover la carga q2 = 3 · 10−8 [C] desde el centro hasta el v´ertice D es el mismo
si se calcula el trabajo al modificar el sistema completo al mover la carga q2 . Por lo tanto, el trabajo es el
negativo de la variaci´on de la energ´ıa potencial del sistema, es decir
W = −∆U = Ui − Uf
donde Ui es la energ´ıa del sistema cuando la carga q2 est´a en el centro, y Uf es la energ´ıa del sistema
cuandoq2 se ubica en el v´ertice D. Las energ´ıas est´an dadas por
Ui = UAB + UBC + UAC + UAO + UBO + UCO = U + UAO + UBO + UCO
Uf = UAB + UBC + UAC + UAD + UBD + UCD = U + UAD + UBD + UCD
donde O denota el centro del cuadrado. Evaluando, tenemos
6 · 10−16
12 · 10−16
6 · 10−16
√ + 9 · 109
√ − 9 · 109
√ = −2,1 · 10−4 [J]
0,05 2
0,05 2
0,05 2
6 · 10−16
12 · 10−16
6 · 10−16
√ − 9 · 109Uf = −5,7 · 10−5 − 9 · 109
+ 9 · 109
= −1,8 · 10−4 [J]
0,1
0,1
0,1 2
Ui = −5,7 · 10−5 − 9 · 109

Entonces, el trabajo es W = Ui − Uf = −3 · 10−5 [J]. Sin embargo, este es el trabajo realizado por el
sistema al trasladar la carga q2 desde el centro al v´ertice. Por lo tanto, el trabajo realizado por un agente
externo es
Wext = 3 · 10−5 [J]

2022 - Electromagnetismo

Plev 2008

E.S.y M.S.

Pauta 1o Certamen

Potencial El´
ectrico, Capacitores y Diel´
ectricos

Problema 2 Dos capacitores id´enticos se conectan como se muestra en la figura. Una placa de diel´ectrico se
introduce entre las armaduras de uno de ellos estando la fuente conectada. Describir cuantitativamente lo que
ocurre a cada uno de los condensadores antes y despu´es de introducir el diel´ectricoreferente a:
la carga
la capacitancia
la diferencia de potencial
el campo el´ectrico
la energ´ıa almacenada

C0

C0

V0

V0

C = C0

C0

Soluci´
on
La capacitancia de cada uno de los condensadores es C0 . Dado que los capacitores se conectaron en serie,
ambos obtienen la misma carga, dado que circula la misma corriente en ambos. La carga entonces es la que
tend´ıa unacapacitancia equivalente del circuito. Como est´an conectados en serie, la capacitancia equivalente es
1
1
2
C0
1
=
+
=
⇒ Ceq =
Ceq
C0
C0
C0
2
C0 V0
. Por
y como la carga de un condensador es Q = CV , entonces la carga del capacitor equivalente es Qeq =
2
C0 V0
lo tanto, la carga de cada capacitor es Q0 =
. A su vez, cada capacitor tendr´ıa como voltaje V = Q/C0 ,
2
C0 V0
V0
ydado que la carga de cada uno es
, entonces cada capacitor tendr´ıa como voltaje V =
.
2
2
1
La energ´ıa que almacena un capacitor cualquiera es U = CV 2 . Dado que cada capacitor tienen la misma
2
capacitancia y el mismo voltaje, entonces la energ´ıa que almacenan los condensadores es la misma y es
U=

1
1
CV 2 = C0
2
2

V0
2

2

=

1
C0 V02
8

Si suponemos que los...