Charla 2105 Semana2

MAC 2105S
Semana 2

Semana 2
Funciones cuadráticas:
Resolviendo mediante factorización,
completando el cuadrado y la fórmula.
Graficando funciones cuadráticas.
Operaciones con polinomios:
Suma, resta , multiplicación.
Factorización. Resolver ecuaciones.
Hallar los parámetros necesarios para graficar.
Función compuesta.
Función inversa.

Funciones cuadráticas
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = a2x2 +a1x + a0

ejemplo: 2x2 + 3x – 1

con parámetros nombrados a2 , a1, a0 ,
...

en lugar de a, b, c

Esta forma es equivalente, completando el cuadrado del

binomio

f(x) = a(x – h)2 + k

Funciones Cuadráticas
y
10

x2 + 4x + 3
5

-15

-10

-5

5

-x2 + 8x
-5

-10

10

15

x

Cómo graficar la cuadrática f(x)=ax2+bx+c
Si a>0 abre hacia arriba, si a<0 hacia abajo.

Eje de simetría:
Vértice:

Evaluarb
x = – -----2a

f(eje)

Interceptos x: Son las soluciones reales. Se iguala
f(x) = 0 y se resuelve para x. Se usa la factorización,
completar el cuadrado o la fórmula.
Intercepto y: Se hace x=0, queda “c”
Imagen del intercepto: Se halla aprovechando la
simetría de la gráfica.

Repasando:
Polinomio de grado 2 (n=2) o función cuadrática.
Para n=2, tenemos la función ya conocida: la cuadrática.
f(x)= ax2 + bx + c El valor de “n” , n=2 es par.
Por lo tanto, el rango está entre [min , ∞) ya que a>0, en
otras palabras, “abre hacia arriba”, y tiene un valor mínimo.
El ejemplo es :

f(x) = x2 + 4x + 3

Cómo hallar ese punto mínimo: La cuadrática es una
gráfica simétrica con respecto a una línea vertical, se
denomina: EJE DE SIMETRÍA que se halla mediante

x = -b/2a

Hallando el eje de simetríay el vértice
Sustituyendo:

x = -(-4)/ 2(1)

x=-2 es el eje de simetría.

, la f(x) = x2 + 4x + 3
es f(2) = (-2)2 + 4(-2) + 3 =
=4–8+3
= -1
Entonces, el punto mínimo, llamado vértice, se encuentra en (2,-1)
Para x=2

Ya tenemos ese punto. Veamos otros de interés.
Intercepto con eje ¨y¨ : se obtiene haciendo x igual a cero.
es f(0) = (0)2 - 4(0) + 3 = 3
tenemos ahora el (0,3)
Para hallar losinterceptos con el eje de las x (puede haberlos o no), hay que
hacer cero la función,
x2 + 4x + 3 = 0 que se puede resolver:
- factorizando,
- completando el cuadrado
- por la fórmula

Resolviendo por factorización
x2 + 4x + 3 = 0
(x+1)(x+3) = 0
Para x + 1= 0 tenemos que x=-1
Para x + 3= 0 tenemos que x=-3
Ya tenemos dos puntos más (-1,0) y (-3,0).

Si quieren agregar algún otro, recomiendo usar lapropiedad de la simetría. Simétricamente al intercepto y
(0,3), se encuentra (4,3)

Haciendo el gráfico.

x

y

2

-1

0

3

1

0

3

0

4

3

Otra forma de resolver la ecuación x2 + 4x + 3 = 0
Completando el cuadrado
Una ecuación que tenga la forma ax2 + bx + c = 0, sus
soluciones pueden ser encontradas completando el cuadrado
x2 + 4x + 3 = 0 Pasemos el 3 a la derecha
x2 + 4x
= - 3 Para completarel cuadrado hacemos
x2 + 4x + 4 = - 3 + 4 Factorizando, es x-2 al cuadrado
(x + 2)2 = 1
Aplicando raíz cuadrada
√ (x + 2)2 = √ 1
x+2 = ± 1
x= -2+1 = -1
x = -2-1 = -3

(b/2)2 = 4

Otra forma de resolver la ecuación x2+4x+3=0
Fórmula cuadrática.
Una ecuación que tenga la forma ax2 + bx + c = 0, sus soluciones
pueden ser encontradas por la fórmula:
– b ±√ b2 – 4ac
x = -------------------------2a
–(4) ±√ 42 – 4(1)(3)
x=

Al sustituir para a=1, b=4, c=3

-4 ± 2
=

-4+2 / 2 = -1
-4-2 / 2 = -3

2(1)
2
x = -3
x = -1 que son las mismas soluciones.
Esta fórmula es un resumen del método de completar el cuadrado

El radicando es conocido como discriminante: b2 – 4ac .
Determina lo siguiente:
• Cuando es mayor que cero , tenemos dos soluciones reales.
• Cuando es cero, hay dos soluciones del mismovalor.
O sea, un solo valor real como solución.
• Cuando es negativo, las soluciones son números complejos, ya
que una raíz par de un negativo, es un número imaginario.
Las soluciones reales son interceptos de la gráfica con el eje x.
Las soluciones imaginarias solamente expresan que hay
cambios para ascender o descender en la función, pero la gráfica
no cruza ni toca al eje ¨x¨.

Ejemplo de...