chi cuadrada

144

Bioestad´
ıstica: M´todos y Aplicaciones
e

Soluci´n: Si consideramos la v.a. X que contabiliza el n´mero de personas
o
u
que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero
que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo
que
X;B n = 500,000, p =

1
100,000

≈

=⇒ X ; Poi (λ = 5)

As´ el n´mero esperado de personas que padecen laenfermedad es E [X] =
ı
u
5. Como Var [X] = 5, existe una gran dispersi´n, y no ser´ extra˜o encono
ıa
n
trar que en realidad hay muchas m´s personas o menos que est´n enfermas.
a
a
La probabilidad de que haya m´s de tres personas enfermas es:
a

P[X > 3] = 1 − P[X ≤ 3]
= 1 − P[X = 0] − P[X = 1] − P[X = 2] − P[X = 3]
e−5·0 e−5·1 e−5·2 e−5·3
= 1−
−
−
−
0!
1!
2!
3!
= 0, 7356.3.

Distribuciones continuas

En esta secci´n estudiaremos las distribuciones m´s importantes de v.a.
o
a
continuas unidimensionales. El soporte de una v.a. continua se define como
aquella regi´n de I donde su densidad es no nula, f (x) = 0. Para las
o
R
distribuciones que enunciaremos, podr´ ser bien todo I I + = (0, +∞) o
a
R, R
bien un segmento de la forma [a, b] ⊂ I
R.

6.3.1.Distribuci´n uniforme o rectangular
o

Se dice que una v.a. X posee una distribuci´n uniforme en el intervalo
o
[a, b],
X;U (a, b)

6.3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS

145

si su funci´n de densidad es la siguiente:
o
f (x) =

1
b−a

si a ≤ x ≤ b

(6.14)

1.0

Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X estecomprendido en cierto subintervalo
de [a, b] depende unicamente de la longitud del mismo, no de su posici´n.
´
o
Cometiendo un peque˜o abuso en el lenguaje, podemos decir que en una
n
distribuci´n uniforme la probabilidad de todos los puntos del soporte es la
o
misma 2 .

0.6

0.8

F(x)

0.4

f(x)

0.0

0.2

Unif(a = 0, b = 2)

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.53.0

Figura 6.3: Funci´n de densidad y de distribuci´n de U (a, b)
o
o

E [X] =

Var [X] =

b+a
2
(b − a)2
12

2
Hay que observar que en principio esa afirmaci´n es cierta para cualquier v.a. contio
nua, ya que para ellas la probabilidad de cualquier punto es nula. Ser´ m´s preciso decir
ıa a
que la densidad de todos los puntos es constante en [a, b].

146

Bioestad´
ıstica:M´todos y Aplicaciones
e

6.3.2.

Distribuci´n exponencial
o

La distribuci´n exponencial es el equivalente continuo de la distribuci´n
o
o
geom´trica discreta. Esta ley de distribuci´n describe procesos en los que:
e
o
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento,
sabiendo que,
el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta
que ello ocurraen un instante tf , no depende del tiempo transcurrido
anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una part´
ıcula radiactiva en desintegrarse. El
conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia
para, por ejemplo, la dataci´n de f´siles o cualquier materia org´nica
o
o
a
mediante la t´cnica del carbono14, C 14 ;
e
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la
llegada de un paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la
ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabil´
ıstico
exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos
dos vecesuna herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de I + , es
R
tal que su funci´n de densidad es
o
f (x) = λe−λx si 0 < x

(6.15)

se dice que sigue una distribuci´n exponencial de par´metro λ, X;Exp (λ).
o
a
Un c´lculo inmediato nos dice que si x > 0,
a
x
0

λe−λt dt = −e−λt

x
0

= 1 − e−λx

1.0

6.3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS

147...