Chi Cuadrado

Tema 3. El estadístico Chi-cuadrado y contrastes asociados
Objetivos del tema 3
En este tema aprenderás a:
Dar una medida de la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas en caso de independencia en una tabla de contingencia
Calcular e interpretar el estadístico Chi-cuadrado y sus grados de libertad
Recordar los pasos y conceptos básicos en un contraste de hipótesis
Comprender lospasos para llevar a cabo el contraste de independencia
Contrastar la hipótesis de que dos variables en una tabla de contingencia son independientes, decidiendo si el valor Chi-cuadrado es estadísticamente significativo y tomando una decisión sobre el rechazo o de la hipótesis nula
Interpretar el nivel de significación
Realizar un contraste de Chi-cuadrado de homogeneidad para comprobar si variassubpoblaciones vienen de la misma población
Comprender los supuestos de aplicación del contraste Chi-cuadrado

Ronald Aylmer Fisher

3.1. Introducción
Hasta ahora hemos analizado la existencia de asociación en los datos de una muestra dada, sin intentar extender las conclusiones a una población más amplia. En este tema estudiaremos la realización de una inferencia, donde se desea estudiar si laasociación encontrada entre dos variables en una muestra tomada al azar de una población mayor podría extenderse a la población de donde se tomaron los datos. Para ello, realizaremos un contraste de hipótesis.
Hay dos tipos de hipótesis que interesa contrastar, a partir de los datos de contingencia, el contraste de homogeneidad y el contraste de independencia. Los dos tipos de contrastes utilizan losdatos de una tabla de contingencia y se basan en el estadístico Chi-cuadrado que estudiamos a continuación.

3.2. El estadístico Chi-cuadrado
Una medida muy extendida para medir la dependencia e independencia, es el estadístico Chi-cuadrado, que da una medida de la diferencia entre las frecuencias observadas en la tabla y las “frecuencias esperadas en caso de independencia”. Recordamos el cálculode dichas frecuencias esperadas eij:

Con el estadístico Chi-cuadrado se obtiene una medida de diferencia entre las frecuencias esperadas y las frecuencias observadas. El estadístico se calcula en la forma siguiente:
,
Observamos las siguientes propiedades de este estadístico:
Si todas las frecuencias observadas son iguales a la correspondiente frecuencia esperada, entonces =.
Esto ocurre sólocuando las dos variables de la tabla son independientes; Por tanto, si hay independencia entre las dos variables de la tabla,
Cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas en la tabla, el valor de Chi cuadrado será mayor. Es decir, a mayor intensidad de la asociación entre las variables, Chi-cuadrado será mayor.
El valor de Chi-cuadrado siempre es positivo o cero(pues es suma de números positivos, ya que los denominadores de la suma son todos positivos al ser suma de números elevados al cuadrado.
En general, a mayor número de sumandos, se obtendrá un valor mayor.

Los grados de libertad de un estadístico calculado sobre un conjunto datos se refieren al número de cantidades independientes que se necesitan en su cálculo, menos el número de restricciones queligan a las observaciones y el estadístico. El número de grados de libertad del estadístico Chi-cuadrado se calcula de la siguiente forma:
Se calcula, en primer lugar el número de sumandos, es decir m x n, siendo n y m el número de filas y número de columnas en la tabla.
A esta cantidad se debe restar el número de restricciones impuestas a las frecuencias observadas. Observamos que podemos cambiartodas las frecuencias de la tabla sin cambiar los totales por filas y columnas, excepto los datos en la última fila y la última columna de la tabla, pues una vez que fijemos todos los valores excepto estos, quedan automáticamente fijados. Por tanto, si la tabla tiene m filas y n columnas, el número de grados de libertad es (m-1) x (n-1). Expresamos esta dependencia en la siguiente forma:...