Chobesky

3. Matrices y álgebra matricial

Repasaremos algunos conceptos básicos de la teoría matricial. Nos centraremos en aspectos relacionados con el álgebra lineal, la inversión y la diagonalización de matrices. Veremos algunas aplicaciones concretas.

3.1. La descomposición de Cholesky

3.1.1. Matrices definidas no negativas y matrices definidas positivas

Consideremos una matriz cuadradao rectangular de dimensión m⋅n, A∈M(m⋅n). Construyamos ahora la matriz simétrica de dimensión n⋅n siguiente:
S ’ A+ A
M (n⋅n ) .

Esta matriz posee la siguiente propiedad: dado un vector columna arbitrario distinto del vector nulo y de dimensión n, x, se define el vector y=Ax, de la misma dimensión que el anterior, y entonces se cumple que el escalar

M ( ) ∋ x +Sx ’ x + A+ Ax ’ (x + A+ )(Ax ) ’ (Ax ) (Ax ) ’ y + y
1⋅1

es no negativo puesto que se trata de la suma de los módulos al cuadrado de los elementos del vector y:

n
x + Sx ’ y + y ’ ∑ y
i ’1

≥ 0 .

Esto, al ocurrir para cualquier vector x no nulo constituye la definición de una matriz definida no negativa. Lo denotamos como S≥0. Un razonamientosimilar se puede hacer para la matriz

B ’ AA+ ∈
M (m⋅m ) .

Los valores propios de una matriz definida no negativa nunca son negativos.

Cuando una matriz S de dimensión n⋅n cumple que, para cualquier vector n- dimensional columna x no nulo siempre

x + Sx > 0 ,

se dice entonces que esa matriz S es definida positiva y se denota como S>0. Susvalores propios siempre son positivos. Esta última propiedad también permite caracterizar a una matriz definida positiva.

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3.1.2. La descomposición para matrices simétricas

Si S es una matriz simétrica de dimensión n⋅n y S>0, entonces siempre existe una matriz T triangular superior (o inferior) de la misma dimensión tal que

S ’ T T T .

Enconsecuencia, este sistema de ecuaciones no lineales siempre tiene solución para las n(n+1)/2 incógnitas (los elementos relevantes de la matriz triangular).

Si los elementos de la matriz T son {tij}, con tij=0 para i>j, se demuestra que los elementos relevantes se calculan como

tii ’ +

sii

i −1
− ∑ t 2
k ’1
i −1
sij − ∑ t ki t kj
y t ’ k ’1 parai0).
ii k ’i +1

Atendiendo a esta fórmula, los elementos deben irse calculando por bandas paralelas a la diagonal y de arriba a abajo. El último elemento calculado es el t1n(-1). El estudio de la fórmula precedente revela que el cálculo de un elemento de la matriz T-1 requiere conocer los elementos de la misma matriz que se hallan justo por debajo de él. De esta manera,también se puede concebir una formulación donde los elementos se calculan siguiendo columnas de abajo a arriba (desde el elemento diagonal) y de izquierda a derecha: Dada una

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columna j (j=1,n), se calcula primero el elemento diagonal y luego los que están por encima de él y desde abajo a arriba:

(−1) 1
jj t

(−1)
ij
j
’ −t −1 ∑

(−1)
ik kj

parai=j-1,j-2,...,1.
jj k ’ i +1

A la vista de la formulación de los elementos diagonales de la inversa de una matriz triangular ( t (−1) ), comprobamos como la condición necesaria y suficiente
para que la matriz T sea invertible es que no tenga ningún elemento diagonal nulo. Esto está de acuerdo con la condición de que su determinante tampoco sea nulo.

3.2.2. Ejemplo numérico

Amodo de ejemplo numérico, podemos considerar la inversión de la matriz T
3¥3 obtenida arriba en el apartado 3.1.3. Su inversa la escribimos como

 t (−1)
t (−1)
t (−1) 
 11 12
13 
T −1 ’  0

(−1)
22
t (−1)  .
(−1) 
 0 0
t33 

La ecuación que se nos plantea ahora es I=T-1T=TT-1, es decir,

 1 0 0 
 t (−1)
t (−1)
t (−1)  t t t ...