Cholesky

En álgebra lineal, la descomposición de Cholesky, o de Cholesky triángulo es una descomposición de una matriz hermitiana, definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su traspuesta conjugada. Fue descubierto por André-Louis Cholesky para matrices reales. Cuando sea aplicable, la descomposición de Cholesky es aproximadamente dos veces más eficiente que la descomposición LUde sistemas de ecuaciones lineales.
Declaración
La descomposición de Cholesky de una matriz definida positiva hermitiana A es una descomposición de la forma
donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales positivas, y L * indica la transpuesta conjugada de L. Cada matriz definida positiva hermitiana tiene una descomposición de Cholesky único.
Si la matriz A es hermitiana ypositiva semi-definida, a continuación, todavía tiene una descomposición de la forma A = LL * si los elementos de la diagonal de L están autorizados a ser cero.
Cuando A tiene entradas reales, L tiene entradas reales también.
La descomposición de Cholesky es única cuando A es definida positiva; sólo hay una matriz inferior L triangular con entradas diagonales estrictamente positivos tales que A =LL *. Sin embargo, la descomposición no tiene por qué ser único cuando A es semidefinida positiva.
Lo contrario es trivial: si A se puede escribir como LL * para algunos L invertible, triangular inferior o de otra manera, entonces A es hermitiana y definida positiva.
LDL descomposición
Una variante estrechamente relacionado de la descomposición de Cholesky clásica es la descomposición de LDL,donde L es una matriz inferior unitriangular y D es una matriz diagonal.
Esta descomposición está relacionado con la descomposición de Cholesky clásica, de la forma LL *, de la siguiente manera:
La variante de LDL, si se aplican de manera eficiente, requiere el mismo espacio y la complejidad computacional para construir y utilizar, pero evita la extracción de raíces cuadradas. Algunas matricesindefinidos para los que no existe descomposición de Cholesky tener una descomposición LDL con entradas negativas en D. Por estas razones, a menudo se prefiere la descomposición de LDL.
Para matrices reales, se refiere a menudo en el habla como la descomposición THDV porque tiene la forma A = THDV. Está estrechamente relacionado con la eigendecomposition de matrices simétricas reales, A = Q? QT.Ejemplo
Aquí es la descomposición de Cholesky de una matriz real simétrica:
Y aquí está la descomposición THDV de la misma matriz:
Aplicaciones
La descomposición de Cholesky se utiliza principalmente para la solución numérica de las ecuaciones lineales Ax = b. Si A es simétrica y definida positiva, entonces podemos resolver Ax = b calculando primero la descomposición de Cholesky A = LL *, Ly= b entonces la solución para y por la sustitución hacia adelante, y, finalmente, la solución de L * x = y para x por sustitución hacia atrás .
Para los sistemas lineales que se pueden poner en forma simétrica, la descomposición de Cholesky es el método de elección, para la eficiencia superior y la estabilidad numérica. En comparación con la descomposición LU, que es aproximadamente dos veces máseficiente.
Lineales de mínimos cuadrados
Los sistemas de la forma Ax = b con A simétrica y definida positiva surgen muy a menudo en las aplicaciones. Por ejemplo, las ecuaciones normales en el lineal de mínimos cuadrados son los problemas de esta forma. También puede suceder que la matriz A viene de una energía funcional que debe ser positivo a partir de consideraciones físicas; esto sucedecon frecuencia en la solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales.
Optimización no lineal
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