La factorización de cholesky

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LA FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY

Resumen

La factorización de Cholesky es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales, tenemos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones,llamada A. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A admita factorización de Cholesky es que sea simétrica y definida positiva. Si cumple podemos tratar de factorizarla la forma A =L*LT, cuando la tenemos factorizada ya podemos resolver el sistema de ecuaciones.

Desarrollo

Sea el sistema de ecuaciones lineales A x = b, donde A es simétrica y definida positiva, entonces elmétodo de Cholesky para la resolución del sistema A x = b está basado en la descomposición de la matriz A como sigue:

donde L es una matriz triangular inferior de orden n, es decir, L tiene lasiguiente forma:

Descompuesta de esta forma la matriz A, la resolución del sistema A x = b queda dada por la resolución de dos sistemas triangulares. En efecto,

Si hacemos,

entonces :

el cualresulta un sistema triangular inferior en y, con:

de fácil resolución con:

En forma general, tenemos:

Una vez que se resuelve (1.9), procedemos a resolver el sistema (1.8), que es un sistematriangular superior

Es decir, los valores de    quedan dados por:

De  (1.6) se obtienen las siguientes ecuaciones para el cálculo de los elementos de la matriz L ( ):

Se mencionóanteriormente que para la aplicación de este método la matriz A debe ser simétrica y definida positiva. A continuación se enuncian ciertos teoremas al respecto.

Observación: Es necesario verificar que ningúnelemento de la diagonal principal sea cero.

Pruebas

Para las pruebas, se utilizó el siguiente código del algoritmo, implementado en Matlab, el cual trata de resolver un sistema de ecuaciones conel método de Cholesky. Se debe ingresar A y b, de los cuales, la matriz A debe ser simétrica y positiva.

matriz=input ('Ingrese la matriz aumentada del sistema, A|b, A tiene que ser simétrica y...
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