Ciencia metodo cientifico

OCW-V.Muto

El m´todo de Newton-Raphson e

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Cap. IX

CAPITULO IX. EL METODO DE NEWTON-RAPHSON 1. INTRODUCCION Y METODO El m´todo de Newton-Raphson (o simplemente Newton) es uno de los m´todos e e num´ricos m´s conocidos y poderosos para la resoluci´n del problema de b´squeda de e a o u ra´ ıces de f (x) = 0. Para introducir el m´todo de Newton usaremos un enfoque intuitivo e basado enel polinomio de Taylor. Sup´ngase que la funci´n f es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo o o 2 [a, b]; o sea, f ∈ C [a, b]. Sea x ∈ [a, b] una aproximaci´n a la ra´ p tal que f (x) = 0 y o ız |x−p| es peque˜o. Consid´rese el polinomio de Taylor de primer grado para f (x) alrededor n e de x (x − x)2 f (x) = f (x) + (x − x) f (x) + f (ζ(x)) , (IX.1) 2 donde ζ(x) est´ entre x y x.Como f (p) = 0, la ecuaci´n (IX.1), con x = p, nos da a o 0 = f (x) + (p − x) f (x) + (p − x)2 f (ζ(p)) . 2 (IX.2)

El m´todo de Newton se deriva suponiendo que el t´rmino que contiene a (p − x)2 es e e despreciable y que 0 ≈ f (x) + (p − x) f (x) . (IX.3) Despejando p de esta ecuaci´n resulta: o p≈x− f (x) , f (x) (IX.4)

lo cual debe ser una mejor aproximaci´n a p que x. o El m´todo deNewton-Raphson implica el generar la sucesi´n {pn } definida por e o pn = pn−1 − f (pn−1 ) , f (pn−1 ) n≥1. (IX.5)

Geom´tricamente, el m´todo de Newton es equivalente a sustituir un arco peque˜o e e n de la curva y = f (x) por una tangente trazada por un punto de la curva. Supongamos, por definici´n, que f (x) > 0 para a ≤ x ≤ b y f (b) > 0 (ver figura 1). o Tomemos, por ejemplo, p0 = b para el cualf (p0 ) · f (p0 ) > 0. Tr´cese la tangente a a la curva y = f (x) en el punto B(p0 , f (p0 )). Como primera aproximaci´n p1 de la ra´ o ız p tomemos la abscisa del punto de intersecci´n de esta tangente con el eje x. Tr´cese o a nuevamente una tangente por el punto de coordenadas (p1 , f (p1 )), cuya abscisa del punto de intersecci´n con el eje x ofrece una segunda aproximaci´n p2 de la ra´ p, yas´ sucesio o ız ı vamente. La ecuaci´n de la tangente en el punto de coordenadas (pn , f (pn )) (n = 0, 1, ...), es o y − f (pn ) = f (pn ) (x − pn ) . 91

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Haciendo y = 0 y x = pn+1 , tendremos la f´rmula (IX.5). o N´tese que si en nuestro caso hacemos p0 = a, y por tanto f (p0 ) · f (p0 ) < 0, y o trazamos entonces la tangente a lacurva y = f (x) por el punto A(a, f (a)), tendremos que el punto p1 cae fuera del intervalo [a, b]; en otras palabras, el procedimiento de Newton no es pr´ctico para este valor inicial. Por tanto, en el caso dado, una buena aproximaci´n a o inicial p0 es aquella para la cual resulta v´lida la desigualdad a f (p0 ) · f (p0 ) > 0 . Demostraremos ahora que esta regla es general. Figura 1

TeoremaIX.1 Sea f ∈ C 2 [a, b]. Si f (a) · f (b) < 0, y f (x) y f (x) son no nulas y conservan el signo para a ≤ x ≤ b, entonces, a partir de la aproximaci´n inicial p0 ∈ [a, b] que satisface o f (p0 ) · f (p0 ) > 0 , (IX.6)

es posible, utilizando el m´todo de Newton (f´rmula (IX.3)), calcular la ra´ unica p de e o ız ´ la ecuaci´n f (x) = 0 con cualquier grado de exactitud. o Demostraci´n: supongamosf (a) < 0, f (b) > 0, f (x) > 0, f (x) > 0 para a ≤ x ≤ b. o Por la desigualdad (IX.6) tenemos f (p0 ) > 0 (podemos, por ejemplo, tomar p0 = b). Por inducci´n matem´tica demostraremos que todas las aproximaciones pn > p (n = 0, 1, 2, ...) o a y, por consiguiente, f (pn ) > 0. En efecto, ante todo, p0 > p. Establezcamos ahora pn > p. Pongamos p = pn + (p − pn ) . Utilizando la f´rmula de Taylor,tendremos o 0 = f (p) = f (pn ) + f (pn ) (p − pn ) + 92 1 f (cn ) (p − pn )2 , 2

OCW-V.Muto donde p < cn < pn . Como f (x) > 0, tenemos

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f (pn ) + f (pn ) (p − pn ) < 0 , y, de aqu´ que ı pn+1 = pn − f (pn ) >p f (pn )

que es lo que se quer´ demostrar. ıa Tomando en consideraci´n los signos de f (pn ) y f (pn ) tenemos, de la f´rmula...