ciencia

Unidad 4

• VARIACION PROPORCIONAL

4.1 INTRODUCCION
La relación existente entre dos o más cantidades físicas a menudo se puede
expresar mediante una ecuación. Por ejemplo, la longitud C de una circunferencia está
relacionada con el radio de la misma mediante la ecuación C = 2 n r. Como la longitud
de la circunferencia depende, en este caso, del valor asignado al radio, la longitudrecibe el nombre de variable dependiente, mientras que al radio se le llama variable
independiente.
A una relación como la anterior se le conoce con el nombre de relación funcional
o simplemente función.
Se tiene una función cuando a cada valor de la(s) variable(s) independiente(s) se
corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.
Otro ejemplo de función lo tenemos en la fórmulapara calcular el área de un triángulo:
A = b h/2
en donde A es el área del triángulo; b es la base del triángulo y h es la altura. En este
caso, b y h son las variables independientes, mientras que A es la variable dependiente.
Existe un número infinito de funciones, tanto en matemática pura como aplicada.
En este capítulo se estudiará un tipo especial de funciones: la variación proporcional.VARIACIÓN PROPORCIONAL DIRECTA E INVERSA
Dos variables X e Y son proporcionales cuando multiplicando una de ellas por
una constante, la otra queda multiplicada o dividida por la misma constante. La
proporcionalidad entre las variables puede ser directa o inversa.
Variación Directamente Proporcional
Se dice que la variable Y es directamente proporcional a la variable X si:

en donde K es unaconstante, llamada constante de proporcionalidad directa.
Por ejemplo, la fórmula C = 2 π r indica que la longitud de una circunferencia es

directamente proporcional al radio de la misma, donde 2 π es la constante de
proporcionalidad.
De la ecuación (4.1) se obtiene:
k = Y/X
Si c representa a una constante cualquiera, entonces:
k = Yc/Xc
La interpretación de la ecuación anterior es queal multiplicar (o dividir) una de
las variables por una constante c, la otra variable queda también multiplicada (o
dividida) por la constante c; es decir, si se incrementa una de las variables en cierta
proporción, la otra también se incrementa en la misma proporción; o bien, al decrecer
una de las variables en cierta proporción, la otra también decrece en la misma
proporción.
Lo mencionadoen el párrafo anterior puede verificarse en la fórmula para
calcular la longitud de una circunferencia. Si el radio de una circunferencia es de 10 cm,
entonces la longitud de la circunferencia será C = 2 π (10) = 62.832 cm. Pero si el radio
se triplica; esto es, r =30 cm, la longitud de la circunferencia también se triplicará: C = 2
π (30) = 188.496 = (3)(62.832).
EJEMPLO 4.1
Si Y esdirectamente proporcional a X, y Y = 8 cuando X = 4, encontrar Y cuando X = 7.
SOLUCION
De acuerdo a la definición de variación directa, se tiene que Y = kX. Al sustituir
los valores numéricos X = 4 y Y = 8, es posible calcular el valor de la constante de
proporcionalidad:
8 = (k)(4)
Es decir:
K = 8/4 = 2
Por tanto, como ya se conoce la constante de proporcionalidad, la ecuación se
convierteen:
Y = 2X
Como el nuevo valor de X es 7, entonces el nuevo valor de Y será:
Y = (2)(7)
Y = 14

EJEMPLO 4.2
Si z varía en forma directa a (x – w), y z = 2 cuando x = 7 y w = 4, calcule x cuando w =
3 y z = 9.
SOLUCION
Por definición se tiene que z = k (x - w). Despejando k y sustituyendo los valores
numéricos iniciales de z, x y w, se tiene:

Por tanto:

Silos nuevos valores de w y zson 3 y 9, respectivamente, entonces el nuevo valor de x
será:
9 = 2/3(x –3)
27 = 2x–6
27 + 6 = 2x
x = 33/2
EJEMPLO 4.3
La distancia que un objeto recorre al caer, a partir del reposo, es directamente
proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Si un objeto cae 78.48 metros en 4
segundos, ¿cuánto habrá caído al final de 6 segundos?
SOLUCIÓN
Sea S la distancia recorrida y t el...