ciencia

Ejemplos de la inversa de una matriz
Determine la inversa de a matriz A si tal inversa existe en tal caso de que B sea la inversa de
A=1224 B=abcd
Si: AB=IBA=I
BA=1224 abcd=1001
AB=a+2cb+2d2a+4c2b+4d=1001
AB=1224⋮101224⋮01
R2-2R11224⋮101224⋮01
1200⋮121200⋮01
La ecuación representada por el segundo renglón es absurda, asíque el sistema es inconsistente y no tiene ninguna solución demodo que A no tiene una inversa.
Solución de sistemas lineales por reducción de reglones
En esta parte el lector hallará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el
Método de Gauss-Jordan. El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas con solución única, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solución y D) sistemas homogéneos.
A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA
1)Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
Solución.
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.
Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para ésto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) queestamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo.
Notación para las operaciones elementales en renglones
nuevo renglón i de la matriz aumentada.
intercambio del renglón i con el renglón j.
nuevo renglón j de la matriz aumentada.
b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.
2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Solución.
Escribiendo la matrizaumentada del sistema y reduciendo de acuerdo a la operación indicada tenemos:
B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES
1) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Solución.
La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos:
Despejando x, y
Luego x, y dependen de z, si z = t, t ¸ R, tenemos
Es decir, el sistema deecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x, y, z.
Por ejemplo:
Si T=0 entonces , es una solución para el sistema de ecuaciones.
Si T=1 entonces es otra solución para el sistema de ecuaciones.
Si T=4 entonces también es solución para el sistema de ecuaciones.
Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.
2) Resolver elsistema de ecuaciones:
Solución.
Si w = t, tenemos:
Hay infinidad de soluciones.
C) SISTEMAS SIN SOLUCION
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución.
No hay necesidad de seguir reduciendo, del segundo renglón se tiene que da la igualdad (¡contradicción!), por lo tanto, el sistema no tiene solución.
2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución.
Del tercer renglónse tiene que da la igualdad 0=3, luego el sistema no tiene solución.
D) SISTEMAS HOMOGENEOS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGENEO si cada una de las ecuaciones está igualada a cero es decir
Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que
Es solución del sistema, ésta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene soluciónúnica o tiene una infinidad de soluciones.
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solución.
Luego x=y=z=0, el sistema tiene solución única, la solución trivial.

Solución de sistemas lineales por reducción de reglones
En esta parte el lector hallará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el
Método de Gauss-Jordan. El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas consolución única, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solución y D) sistemas homogéneos.
A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
Solución.
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.
Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los...