Ciencia

TRANSFORMADA Z
! Señales de tiempo contínuo:

Transformada de Laplace s=σ+jω
! Secuencias:

caso particular

Transformada de Fourier s=jω

(σ = 0)

Transformada Z z = r·e j ω
! Transformada Z bilateral:

caso particular

Transformada de Fourier de Tiempo Discreto z = e jω

(r = 1)

X ( z) =

n = −∞

∑ x[n] ⋅ z −n

∞

! Transformada Z unilateral:

X ( z) =

n =0∑ x[n] ⋅ z − n

∞

Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas ⇒ x[n] = zn (z es un número complejo). En el caso particular de  z = 1 (círculo unitario en el plano Z) se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema.

REGION DE CONVERGENCIA
Para unasecuencia dada, es el conjunto de valores de z para los cuales la Tansformada Z converge. En general son
− + − + regiones anulares del plano Z: Rx < z < Rx donde Rx puede ser tan pequeño como 0 y Rx tan grande como ∞.

Si X(z) = función racional = N(z)/D(z), las raíces de N(z) son los ceros de X(z). Las raíces de D(z) son los polos de X(z) (valores finitos de z que provocan X(z) = ∞). Además, hayque considerar los valores particulares z = 0 y z = ∞.

La Región de Convergencia está limitada por los polos de la Transformada

A menudo es conveniente mostrar la Transformada Z gráficamente mediante un diagrama de polos y ceros en el plano Z. Ejemplo: la secuencia

[ ] tiene como Transformada Z:
que converge a:

n

[ ]
∞

X [ z] =

∑

a ⋅ µ [ n] ⋅ z

n

−n

∞Propiedad útil:

=

∑(
0

a⋅z

−1 n

)

N −1

∑
0

q =

n

1− q 1

N

N −1

si q < 1 ⇒

∑
0

q =

n

1 1

X [ z] = =

1 −1 1− a ⋅ z z

para z > a
cero en 0 polo en a

O

X

a

Región de convergencia según las propiedades de las secuencias
1.- Secuencia de longitud finita: X [ z ] =
n = n1

∑ x[n] ⋅ z −n

n2

la convergencia requiere que | x[n] |< ∞ para n1 ≤ n ≤ n2 RC: 0 < | z | < ∞ y puede incluir z = 0 ó z = ∞

Casos particulares: z = ∞, si n1 < 0 y z = 0 si n2 > 0 2.- Secuencia hacia la derecha: x[n] = 0 para n < n1 X [ z ] =
∞

n = n1

∑ x[n] ⋅ z −n

∞

RC: exterior de un círculo, | z | > Rx n = n1

Demostración: se supone que la serie es absolutamente convergente para z = z1 ⇒ Considerando la serie:
n = n1

∑

∞x[n] ⋅ z1−n < ∞

∑

x[n] ⋅ z
∞

−n

0: si | z | > | z1 | cada término de la sumatoria es menor y la convergencia es más rápida. • n1 < 0: puede escribirse
n = n1

∑

x[n] ⋅ z −n =

n = n1

∑

x[n] ⋅ z −n + ∑ x[n] ⋅ z −n
n =0

la primer suma es finita para cualquier valor finito de z. La segunda es el caso n1 > 0.

Caso particular: la sumatoria diverge para z = ∞ si n1 <0 ⇒ 3.- Secuencia hacia la izquierda: x[n] = 0 para n > n2 X [ z ] = Demostración: sustituyendo la variable n = -m ⇒ X [ z ] =
n2

Si la RC incluye a z = ∞ ⇒ secuencia causal

n = −∞ ∞

∑ x[n] ⋅ z −n

RC: interior de un círculo, | z | < Rx+ se aplican los resultados anteriores con n reemplazada por –n y z por z-1. hacia la izquierda ⇒ RC: | z | < Rx+ hacia la derecha ⇒ RC: | z | > Rx -n = − n2

∑ x[−m] ⋅ z m

Caso particular: la sumatoria diverge para z = 0 si n2 > 0 ⇒ si converge para z = 0 entonces x[n] = 0 para n ≥ 0. 4.- Secuencia bilateral:
n = −∞

∑ x[n] ⋅ z −n = ∑ x[n] ⋅ z −n + ∑ x[n] ⋅ z −n
n =0 n = −∞

∞

∞

−1

RC: si Rx -< Rx+ es la región anular Rx - < | z | < Rx+ si Rx - > Rx+ no existe región común y la sumatoria diverge.

TRANSFORMADA ZINVERSA
! Utilizando residuos La expresión de la TZ inversa puede derivarse utilizando el teorema integreal de Cauchy: (C es un círculo en contra de las agujas del reloj que rodea el origen)

1, 1  z k −1dz =  2π j ∫c 0, 

k =0 k ≠0

Partiendo de la expresión de la TZ, se multiplica en ambos términos por zk-1 y se integra con una integral de contorno:
∞ 1 1 [ ∑ x[n] ⋅ z −n ⋅ z k −1 ] dz...