CIENCIAS SOCIALES

CIENCIAS SOCIALES Y ECONOMICO ADMON.
1. La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por:


En donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?
Solución: Calculamos en primer lugar el tamaño de la población, P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. Laecuación diferencial tiene sus variables separadas:


Donde hemos denotado P’ = dp/dt . Integrando los dos miembros de esta identidad entre 0 y t obtenemos


Donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo en cuenta ahora que


Concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es


El valor límite de la población es por tanto:


Como se desprendede una simple aplicación de la regla de L’Hôpital. Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor t0 para el que P(t0) = 106/2 . Basta entonces con resolver la ecuación


Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos que t0 = 10 log(199) meses ≈ 4,41 años
2. Cierta compañía produce un artículo destinado a una población en la que hay un número M de potencialescompradores. La compañía decide establecer una campaña de publicidad para promocionar su producto. Los propietarios de la compañía han solicitado a su departamento de la publicidad una medida del impacto de la publicidad. ¿Se puede ayudar a los publicistas?
Solución. Hay varias maneras de medir el impacto de la publicidad, una es las siguientes. Sea y(t) el número de personas que conocen el productoal tiempo t. Supongamos que la velocidad con la que varía el número de personas que conocen el producto es proporcional tanto al número de personas que conocen el producto, como al que todavía no lo conocen. Entonces


Donde k es una constante positiva. Su solución es la función


Con “c” una constante
En la literatura económica de a la ecuación se le conoce como ecuación de la curva logística, lacual nos da una medida del número de personas que conoce el producto al tiempo t. la forma general de la gráfica es la siguiente:













3. En 1995 la población mundial estaba creciendo a una razón aproximada del 1.8 % anual. Esto puede expresarse matemáticamente como P = Po(1.018)t, donde Po = 5.7 . 10 9 y P es la población t años después de 1995.a) ¿Cuál será la población mundialaproximada en el 2000? b) ¿Cuál será la población mundial aproximada en el 2050? c) ¿En qué año la población mundial llegará a los 10 000 000 000 (10 9)? Respuestas:

a) P = Po (1.018) t
= 5.7 . 10 9 . (1.018) 5
= 5.7 . 10 9 . 1.093
= 6.2301 . 10 9 hab

b) P = Po (1.018) t
= 5.7 . 10 9 . (1.018) 55
= 5.7 . 10 9 . 2.667
= 15.2019 . 10 9 hab

c) P = Po (1.018) t 10 10
= 5.7 . 10 9 (1.018) t(1.018) t
= 10 10/ 5.7 . 10 9
= 1.754
t = log 1.754/ log 1.018
t= 34.85
t = 35 años

4. El Producto Interno Bruto (PIB) de cierto país era N (t) = t2 +5t +106 mil millones de dólares t años después de 1990.

a) ¿A qué razón cambió el PIB respecto al tiempo en 1998?
b) ¿A qué razón porcentual cambió el PIB respecto al tiempo en 1998?

Respuestas
a) La razón de cambio del PIB es la derivada de N(t) N’ (t) = 2t +5,
sustituyendo t = 8 2(8) +5 = 21 Es decir, la razón de cambio es de 21 mil millones de dólares por año

b) La razón del cambio porcentual del PIB en 1998 fue 100 N’(8)/N (8) = 100 (21/210) = 10% por año (Hoffmann, 2001:113-114)



CIENCIAS NATURALES/QUIMICA, FISICA, GEOGRAFIA.
5. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas su masadisminuyó en un 3%. Si en un instante cualquiera la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determinar la cantidad que queda después de 24 horas.

RESOLUCIÓN. Inicialmente tenemos 100 mg de sustancia radiactiva. Si C(t) denota la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t, sabemos que al cabo de t = 6 h quedan
C(6) = 100−3 = 97 gr
de esta sustancia. La...