Cinematica Directa

TSTC

Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones

Tema 2
CINEMÁTICA DE MANIPULADORES

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Secciones
1. Introducción. 2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas. 3. Problema Cinemático Directo. Método de Denavit-Hartenberg. 4. Problema Cinemático Inverso. Método de la Transformada Inversa. 5. Posicionamiento Real. 6. Otras especificaciones de la localización del EF. 1.Representación mediante ángulos de Euler. 2. Representación RPY.
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1. Introducción. • ¿Qué estudia la cinemática?
Estudio Analítico del movimiento del manipulador sin tener en cuenta fuerzas y pares que originan el movimiento. Búsqueda de las relaciones entre las variables de las articulaciones y la localización del EF.

• Problemas Asociados:
Localización de objetos:expresar, de una forma matemáticamente tratable, la posición y orientación de un objeto.
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1. Introducción. Problema Cinemático Directo: dado el conjunto de variables de las articulaciones q(t)=(q1(t),q2(t),…,qN(t)) (donde qi=θi o di) hallar la posición y orientación del EF. Problema Cinemático Inverso: dadas la posición y orientación del EF, hallar el vector q(t) de variables dearticulación.

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1. Introducción.

Variables de las articulaciones q1(t),…qN(t)

PCD
Parámetros de los elementos

Posición y Orientación del EF

Variables de las articulaciones q1(t),…qN(t)

PCI

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1. Introducción.
• Ejemplo Robot RR: Robot con dos enlaces de longitud L1, L2 y dos articulaciones rotacionales θ1, θ2. x = L1cos θ1 + L2cos (θ1 + θ2) y = L1sin θ1 +L2sin (θ1 + θ2)
2 x 2 + y 2 − L1 − L2 2 cos θ 2 = 2 L1 L2

(!)

y ( L1 + L2 cos θ 2 ) − xL2 sin θ 2 tan θ1 = x ( L1 + L2 cos θ 2 ) − yL2 sin θ 2

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas

• Localización de Objetos: Sistemas de Referencia (SdR) tridimensionales.
No mediante las coordenadas de un punto. A cada objetos se le asigna un SdR sólido con él.

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2.Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
Z

La localización de un objeto no es absoluta, sino relativa a otros objetos (SdRs). Localización relativa de un objeto respecto a otro: Mediante cambios de sistemas de referencia.
Z

W V

O

Y

X

U

W V

Problema:
• En robótica nos interesa la orientación (rotación) y la posición (translación). • Las matrices de 3×3 representan cambiosde SdR sin translación.
X O’

U O Y

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
Solución: Transformaciones Homogéneas.
• Introducción de una coordenada más.

Fundamento:
W Z w v z y O x X A xyz A Y p u U A uvw O’ V

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
Coordenadas Homogéneas:
• Incluyen una coordenada adicional.

Donde W es un factor de escalaque consideraremos siempre W=1.

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
En forma matricial:

En forma compacta:

Vectores unitarios del SdR UVW. Coordenadas “vistas” desde XYZ.
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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
Trasformación Homogénea (notación NOA):

Transformaciones elementales. Transformación inversa:
• Transponer matriz rotación. •Productor escalar entre “noa” y posición con signo cambiado.

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogéneas
• Recapitulamos conceptos: Localización de objetos con posición y orientación. Empleamos SdR ligados al objeto. Las “coordenadas” de estos SdR se expresan de forma relativa (unos con respecto a otros) mediante Transformaciones Homogéneas → ATB. Una transformación homogénea nosinforma de la posición de un objeto con respecto a otro (vector p). Una transformación homogénea nos informa de la orientación de un objeto con respecto a otro (vectores noa). …y viceversa. Las transformaciones Homogéneas se pueden invertir de forma directa. Mediante operaciones matriciales podemos componer matrices y obtener la localización de un objeto desde distintos SdRs.
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