Cinematica

Cap´ ıtulo 1 CINEMATICA

Los movimientos m´s f´ciles de describir son los de una part´ a a ıcula puntual, es decir aquella que no tiene dimensi´n alguna ni estructura interna. Sin embargo, antes de deso cribir su movimento, es necesario establecer la base matem´tica que permita localizarla a de manera un´ ıvoca en el espacio.

1.1.

Sistema coordenado cartesiano

Para localizar un puntoen el espacio, lo m´s sencillo es utilizar lo que se conoce como a sistema coordenado cartesiano. Esto no es m´s que el conjunto formado por un punto a arbitrario del espacio, O, que se llama origen del sistema coordenado, y tres vectores unitarios y pendiculares entre s´ que forman la base del sistema coordenado y ı, que se denotan por i, j y k (ver Fig. 1.1). Es muy importante que el triedro queforman los vectores de la base sea orientado a derechas. Lo que esto quiere decir es que ha de cumplirse que: k = i × j, (1.1) por lo que la orientaci´n de i y j puede elegirse arbitrariamente, pero la de k viene dada o por la Ec. 1.1. Una vez hecho esto, la posici´n de cualquier punto P viene especificada por el vector o que une el origen con el punto en cuestion. Este vector se conoce por radiovector, y se escribe en general como: r = x i + y j + z k. (1.2) Las longitudes de las componentes del radio vector a lo largo de los vectores de la base, llamadas coordenadas del punto P, se denotan por las letras x, y y z. Otra notaci´n o 7

C
I

I I

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Z

z
γ
k

X

com´n para el radio vector r es: u

C
i

r

O

j

x

α

Figura 1.1: Coordenadas cartesianas.

I
βI I

y

Y

r = (x, y, z).

(1.3)

Importante: La elecci´n tanto del origen como de los vectores de la base es totalmente o arbitraria. Por ello, debe realizarse intentando simplificar al m´ximo el problema que a luego queramos resolver. Por ejemplo, si queremos describir el movimiento de un cuerpo a lo largo de una l´ ınea recta, es conveniente escoger uno de los ejes coordenados a lolargo de esta l´ ınea (el eje OX, por ejemplo). An´logamente, si el movimiento est´ restringido a a al plano, es util que se escoja dicho plano coincidente con alguno de los tres planos ´ coordenados OXY , OZY ´ OZX, formados, respectivamente, por la envolvente lineal de o las parejas correspondientes de vectores de la base i, j y k. c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´ u a ısica.

Universidad CarlosIII de Madrid.

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1.2.

Trayectoria

En general, un cuerpo que describa un movimiento en el espacio se mover´ sobre una a curva que se conoce como trayectoria. Es importante darse cuenta de que sobre una misma trayectoria pueden darse infinitos tipos de movimiento. As´ por ejemplo, supongamos ı, un cuerpo que se mueve en plano OXY siguiendo la recta y = x. Podr´ moverse a velocia dadconstante, con un movimiento uniformemente acelerado o de una n´mero infinito de u maneras. ¿C´mo se describe matem´ticamente esta diferencia? o a La manera de hacerlo es darse cuenta de que la trayectoria es el lugar geom´trico de e los puntos que visita el m´vil. En este ejemplo tan simple, viene dada por al ecuaci´n: o o

Sin embargo, los distintos tipos de movimento vienen descritos porecuaciones del tipo: x = f (t), y = f (t) z = 0, (1.5)

donde f (t) es una funcion arbitraria del tiempo t que ser´ distinta para cada tipo de a movimiento. Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, f (t) = a + bt (a y b son dos constantes cualesquiera), mientras que si es uniformemente acelerado, tendremos que f (t) = a + bt + ct2 . Claramente, existe un n´mero infinito de funciones f posibles peu ro,para cualquier funci´n f que escojamos, siempre se cumple que y = x! o Resumiendo, la ecuaci´n de la trayectoria ser´ un conjunto de ecuaciones que relacioo a nan a las coordenadas entre s´ (como la Eq. 1.4), mientras que las que especifican el tipo ı de movimiento depender´n expl´ a ıcitamente del tiempo. ¿C´mo se pasa de una a las otras? o Pues despejando el par´metro tiempo de todas las...