Circulos De Mohr

Dpto. Física y Mecánica

Círculo de Mohr
Elvira Martínez Ramírez
OCW-UPM

Justificación matemática

OCW-UPM

Y

Dada una figura, de área A, se quiere conocer las rectas R1 y R2 queproporcionan el máximo y mínimo valor del momento de inercia, así como dichos valores de los momentos de inercia

α

X R1

Una recta R que proporcione un máximo (o mínimo) del momento de inerciaforma con el eje OX un ángulo α
OCW-UPM

I R = I OX cos α + I OY s en α − 2 PXY senα cos α
2 2

sen 2α = 2 senα cos α
1 sen α = (1 − cos 2α ) 2
2

1 cos α = (1 + cos 2α ) 2
2

I OX + I OY IOX − I OY IR = + cos 2α − PXY sen 2α 2 2
OCW-UPM

PR1R2 = PXY sen(α + β ) − I OX cos α cos β − I OY senα senβ
Si R1 es perpendicular a R2

β =α +π / 2

senβ = cos α cos β = − senα sen(α + β) = cos 2α
PR1R2  I OX − I OY  = PXY cos 2α + sen2α   2  
OCW-UPM

Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es nulo, se verifica

 I OX − I OY PXY cos 2α + sen2α  2  =0 

Una de las rectas formará con la horizontal un ángulo α de forma que se cumple

2 PXY tg 2α = I OY − I OX
El momento de inercia respecto a dicha recta será máximo o mínimo
OCW-UPMReordenando las ecuaciones anteriores

I OX + I OY I OX − I OY IR − = cos 2α − PXY sen 2α 2 2

PR1R2
2

 I OX − I OY = 2 
2

  sen 2α + PXY cos 2α 
 2 PXY sen 2α cos 2α + PXY sen 2 2α 

Elevando al cuadrado cada ecuación
I + I OY   I OX − I OY   I −I I R − OX = cos 2 2α − 2  OX OY    2 2 2     

PR2R2 1

 I OX − I OY   I OX − I OY 2 =  sen 2α + 2 PXY 2 2   
2

 2 sen 2α cos 2α + PXY cos 2 2α  
OCW-UPM

Sumando las dos ecuaciones

I OX + I OY    I OX − I OY  2 2 + PR1R2 =  IR −  + PXY   2 2    
2 2

Ecuación análoga ala de una circunferencia de radio R y centro C(a,b)

( x − a ) + ( y − b) = R
2 2

2

Donde

C

(

I OX + I OY 2

,0

)

y

R=

(

I OX − I OY 2

)

2

2 + PXY...