circunferencia

1

2

Cap´
ıtulo 1

Geometr´ anal´
ıa
ıtica
1.1.

Circunferencia

1.1.1.

Problemas b´sicos
a

1. Halla en cada caso la ecuaci´n general de la circunferencia con centro en O y
o
radio r.
√
a) O(0, 0) y r = 5
Resp. x2 + y 2 − 5 = 0
Resp. x2 + y 2 − 4x + 6y + 12 = 0

b) O(2, −3) y r = 1
1
1
2, −2

Resp. 2x2 + 2y 2 − 2x + 2y − 31 = 0

yr=4
√
d ) O(−4, −5) y r =7
c) O

e) O(3, 7) y r =

Resp. x2 + y 2 + 8x + 10y + 34 = 0

1
3

Resp. 9x2 + 9y 2 − 6x + 4y + 42

2. En cada caso se muestran los extremos P y Q de una di´metro de una circuna
ferencia. Halla la ecuaci´n general de la circunferencia.
o
a) P (−2, 3) y Q(6, 7)

Resp. x2 + y 2 − 4x + 10y + 9 = 0

b) P (1, −3) y Q(7, −5)

Resp. x2 + y 2 − 8x + 8y + 16 = 0
Resp. x2 + y 2 − 5x +6y + 4 = 0

c) P (4, 0) y Q(9, −6)
d) P

2
7
3, −3

yQ

4
5
3, −3

Resp. 9x2 + 9y 2 − 18x + 36y + 43 = 0
Resp. x2 + y 2 − 7ax + 6ay + 20a2 = 0

e) P (3a, −2a) y Q(4a, −4a)

3. En cada caso se muestra el centro O de una circunferencia que pasa por el
punto P . Halla la ecuaci´n general de la circunferencia.
o
a) O(4, −3) y P (5, 1)

Resp. y 2 + 6y + x2 − 8x + 8 = 0

b)O(1, 0) y P (0, −3)

Resp. x2 + y 2 − 2x − 9 = 0
Resp. x2 + y 2 + 14x − 10y + 56 = 0

c) O(−7, 5) y P (−4, 8)
3

CAP´
ITULO 1. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA

4
1
d) O −1, 2 y P
2

1 3
2, 2

Resp. 2y 2 + 2x2 + 2x − 2y − 3 = 0

e) O(2a, −4a) y P (−2a, 4a)

Resp. x2 + y 2 − 4ax + 8ay = 0

4. Clasifica cada ecuaci´n como una circunferencia, un punto o el conjunto vac´
o
ıo.
Si laecuaci´n representa una circunferencia determina su centro y radio y si
o
representa un punto determina sus coordenadas.
√
a) y 2 + x2 + 6x − 8y + 22 = 0
Resp. Circunferencia: O(−3, 4) y r = 3
b) y 2 + x2 + 2x − 4y + 1 = 0
c) 4x2 + 4y 2 − 16x + 4y + 19 = 0

f)

+

− 4x + 8y − 11 = 0

g) 11 − 2x − x2 − y 2 = 0

i ) x2 + y 2 + 2x − 10y + 27 = 0
j)

1.1.2.

− 8x =

−12y 2Resp. El punto
Resp. Circunferencia: O

1
2 , −1

yr=2
√
Resp. Circunferencia: O(−1, 0) y radio r = 2 3

h) x2 + y 2 + 6x − 8y + 25 = 0
12x2

2
2
2
1
3, −3

Resp. Circunferencia: O(1, 0) y r =

e) 9x2 + 9y 2 − 12x + 6y + 5 = 0
4y 2

Resp. Conjunto vac´
ıo
√

d ) 2y 2 + 2x2 − 4y + 1 = 0
4x2

Resp. Circunferencia: O(−1, 2) y r = 2

+ 12y − 3

Resp. El punto (−3, 4)Resp. Conjunto vac´
ıo
Resp. Circunferencia: O

1 1
3, 2

yr=

1
3

De rectas que contienen el centro de la circunferencia

5. Halla la ecuaci´n general de la circunferencia de radio 6 cuyo centro es el punto
o
de intersecci´n de las rectas 2x − 3y − 9 = 0 y 5x + y − 14 = 0.
o
x2 + y 2 − 6x + 2y − 26 = 0
6. Halla la ecuaci´n can´nica de la circunferencia que contiene al punto(3, −9)
o
o
y que tiene su centro en el punto de intersecci´n de las rectas 3x − y − 10 = 0
o
y −x + 2y + 2 = 0.
(x − 4)2 + (y − 1)2 = 65

1.1.3.

De recta tangente (Ec. de circunferencia)

7. Halla la ecuaci´n general de la circunferencia con centro en (3, −2) y tangente
o
al eje y.
Resp. x2 + y 2 − 6x + 4y + 4 = 0
8. Halla la ecuaci´n general de la circunferencia con centro en(−5, −4) y tangente
o
al eje x.
Resp. x2 + y 2 + 10x + 8y + 25 = 0
9. La recta l : 2x − 3y − 3 = 0 es tangente a la circunferencia con centro en
(2, −4). Determina la ecuaci´n general de la circunferencia.
o
Resp. x2 + y 2 − 4x + 8y + 7 = 0

1.1. CIRCUNFERENCIA

5

10. La recta 2x+4y−15 = 0 es tangente a la circunferencia con centro en − 1 , − 3 .
2
2
Determina la ecuaci´n general dela circunferencia.
o
Resp. 2x + 4y − 15 = 0
11. La recta x + y + 5 = 0 es tangente a la circunferencia con centro en (−3, 4).
Determina la ecuaci´n can´nica de la circunferencia.
o
o
Resp. (x + 3)2 + (y − 4)2 = 18
12. Halla la ecuaci´n general de la circunferencia que pasa por el punto (3, 0) y es
o
tangente a la recta 3x − 2y − 9 = 0 en el punto (−2, −1).
Resp. x2 + y 2 − 2x + 6y −...