La circunferencia

La circunferencia

1. Definición
2. Ecuación ordinaria de la circunferencia
3. Ecuación general de la circunferencia
4. Familia de circunferencias
5. Ejemplo Ilustrativo N° 1
6. Ejemplo Ilustrativo N° 2
7. Ejemplo Ilustrativo N° 3
8. Bibliografía

DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamadoCENTRO (C). La distancia fija se llama RADIO ( r ) de la circunferencia.
Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

[pic]

Observemos el gráfico. Sea una circunferencia de centro (h,k) y radio r.

Por la ecuación de distancia entre dos puntos tenemos:

[pic]
Eliminando la raíz y transponiendotérminos se obtiene:
[pic]

Si el centro está en el origen de coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a
[pic]
DEDUCCIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

La ecuación ordinaria de la circunferencia es
[pic]
Realizando las operaciones indicadas se transforman en
[pic]
Transpongamos r2 y ordenemos los términos
[pic]
Que representa la forma
[pic]

Ecuación general de la circunferencia

Endonde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 - r2
Caso Recíproco

Si escribimos la ecuación general en la forma x2 + Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se tiene
[pic]
Factorando en el primer miembro y sumando en el segundo se tiene
[pic]

Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 = r2, se concluye que
Elcentro C es [pic] y el radio r = [pic]
Como D2 + E2 - 4F da el valor del radio, los casos que pueden presentarse son:
a) Si D2 + E2 - 4F ( 0 existe circunferencia, r es real
b) Si D2 + E2 - 4F ( 0 no existe circunferencia, r es imaginario
c) Si D2 + E2 - 4F = 0 no existe circunferencia, la ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2).

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

Sontodas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por:

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0

Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichascircunferencias.

EJE RADICAL

Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias.
Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias.

Ejemplo Ilustrativo N° 1

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos(2,3) y (3,6) y sea tangente a la recta 2x+y-2=0
Calculando la pendiente con los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:
[pic]

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Calculando la pendiente de la mediatriz que pasa pos los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:

Como la mediatriz es perpendicular al segmento formado al unir los puntos (2,3) y (3,6), por lo tanto la pendiente es la inversa negativa de 3, lo que da [pic]Calculando el punto medio de (2,3) y (3,6) se obtiene:

[pic]
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Calculando la ecuación de la mediatriz al segmento formado por los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:

[pic]

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Realizando un gráfico ilustrativo se tiene:

[pic]

Reemplazando los puntos (2,3) y (3,6) en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene:

[pic]
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[pic]Igualando las 2 ecuaciones anteriores de r2
[pic]
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Dividiendo por 2
[pic]
Que es la ecuación de la mediatriz calculada anteriormente

Despejando h
[pic]

Calculando la distancia del radio de la circunferencia aplicando la ecuación de distancia de un punto C(h,k) a la recta 2x+y-2=0 se tiene:

[pic]
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Elevando al cuadrado la ecuación anterior:

[pic]

Igualando la ecuación...