Circunferencia

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Circunferencia

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos P x , y que equidistan de un punto fijo en el plano llamado centro. La distancia que existe de cualquiera de sus puntos al centro recibe el nombre deradio. Cabe señalar que una circunferencia y un círculo no son sinónimos, ya que un círculo es la porción del plano comprendida y limitada por una circunferencia, es decir, toda su región interior. Si el centro de la circunferencia se ubica en el punto de coordenadas como la siguiente:

(

)

(h,k ) , su gráfica tendrá una forma

y

PC = r

P(x,y)

r k C(h,k)

h

x

Para obtener laecuación que describe a este lugar geométrico, se aplica la fórmula de distancia entre los puntos

P (x , y ) y C (h ,k ) :

d = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2
Pero por definición, esta distancia es igual al radio

r , por lo tanto:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r
elevando al cuadrado:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
que es la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia con centro en 1(h,k ) y radio

r.

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Para el caso especial en que el centro se localiza en el origen, esta ecuación toma la forma:

x2 + y2 = r 2
Ejemplos. 1) Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en Solución.

C (3,− 7) y que tenga radio seis.

h = 3, k = −7 , r = 6 ,aplicando la fórmula:

(x − 3)2 + ( y − (− 7))2 = 6 2
⇒

⇒

(x − 3)2 + ( y + 7)2 = 36

⇒ x 2 − 6x + 9 + y 2 + 14 y + 49 = 36

x 2 + y 2 − 6 x + 14 y + 22 = 0

2) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y de radio cuatro. Solución. Como se trata del caso especial se aplica la fórmula: x + y = r , esto es:
2 2 2

x2 + y 2 = 42

⇒

x 2 + y 2 = 16 ⇒

x 2 + y 2− 16 = 0

3) Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a las rectas y = 6 , y = −4 y que esté sobre el eje y. Solución. Graficando:

y

y=6

5

C(0,1)

x
5 y=-4

6 + (− 4) 2 = = 1 , por lo tanto, al estar sobre 2 2 el eje y , tiene abscisa x = 0 , y el centro será C (0,1) . El radio es r = 6 − 1 = 1 − (−4) = 5 , por lo que
Se observa que el punto medio de las dosrectas es

y=

aplicando la fórmula se tiene:

(x − 0)2 + ( y − 1)2 = 52

⇒ x 2 + ( y − 1)2 = 25 ⇒ x 2 + y 2 − 2 y + 1 = 25

⇒ x 2 + y 2 − 2 y − 24 = 0
2

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ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea la ecuación ordinaria: ( x − h ) + ( y − k )
2 2 2 2 2

= r2
2desarrollando se tiene: x − 2hx + h + y − 2 yk + k acomodando: x − 2hx + y − 2 yk + h + k
2 2 2 2

= r2 E = −2k , F = h 2 + y 2 − r 2

− r2 = 0

ahora, si se hacen los siguientes cambios de variable: D = −2h, y si se sustituyen, la ecuación resultante es:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
expresión conocida como ecuación general de la circunferencia. Ejemplo. Obtener la ecuación general de lacircunferencia con centro en

P (9,1) .

C (−3,6) y que pase por el punto

Solución. Al no tener el radio como dato debe encontrarse mediante la distancia que separa a los puntos. Esa distancia viene dada por: r = d = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) , considerando a
2 2

P como punto uno y al

centro como punto dos: r = sustituyendo se tiene:

(6 − 1) 2 + ( −3 − 9) 2 = 5 2 + (−12) 2 = 25 + 144 =169 = 13

(x − (− 3))2 + ( y − 6)2 = 132

⇒

(x + 3)2 + ( y − 6)2 = 169

⇒ x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 12 y + 36 = 169

⇒ x 2 + y 2 − 6 x − 12 y − 124 = 0 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN ORDINARIA A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL
Sea la ecuación general: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

acomodando convenientemente: x + Dx + y + Ey + F = 0
2 2
2 completando los trinomios cuadrados perfectos: x + Dx...