Circunferencias

www.amatematics.cl PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA

Pag. 1

La Circunferencia y el círculo
Importante: En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que:

PA x PB = PC x PDA este producto se le llama POTENCIA del punto P respecto de la circunferencia.

Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los segmentos que se forman cumplen la siguiente relación:

PA x PB = PC x PD

Ejemplos: 1.- Los ángulos inscritos en una ⊗ que subtienden el mismo arco son congruentes.

m(∡ACB) = m(∡ADB) = m(∡AEB) =

m( AB) 2

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia esrecto.

B

C

m ( AD) = 180° m ( AD ) 2 m ∡ABD = m ∡ACD = 90° m ∡ABD = m ∡ACD ) = A D

www.amatematics.cl

PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA
3.- Si PA = 4 cm; PB = 12 cm; PC = 7 cm; Cuánto mide PD ?

Pag. 2

PA x PB = PC x PD

4 m · 12cm= 7 cm· PD
4 cm · 12 cm = PD 7cm
PD = 6,85cm

4.- Si AB = 8cm ; PC = 3cm y PD = 4cm Cuánto mide PB ? Llamemos: PA = x

PB = 8 − x(porque AB = 8cm )

PA x PB = PC x PD x · (8 – x) = 3 · 4 2 8x – x = 12 2 x – 8x + 12 = 0 (x – 6) (x – 2) = 0 x1 = 6 ^ x2 = 2 PB = 8 − 6 = 2cm Luego: PA = 6cm
(o bien PA = 2cm

PB = 6cm )

Ejercicios de desarrollo: Encuentra los ángulos marcados

1)

2)

3)

4)

5)

6)

www.amatematics.cl

PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA

Pag. 3

7)

8)

9)

10)

11)12)

Ejercicios de selección múltiple: 1. En la circunferencia de centro O y diámetro AC. Si ∠ AOB = 120°, entonces ∠ ACB = ? a) 12,5° b) 25° c) 30° d) 50° e) 60° 2.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco Am = ? a) 22,7° b) 54° c) 127,5° d) 27° e) Ninguna de las anteriores

www.amatematics.cl

PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA 3.- En la figura m, es punto medio delarco AB. Entonces, arco Am=?
a) 2q b) 2/3q -90° c) q d) 180° -q/2 e) Ninguna de las anteriores

Pag. 4

4.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. ∠ x=? a) 30° b) 45° c) 40° d) 20° e) Ninguna de las anteriores

5.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. ∠ x=? a) 37,5° b) 45° c) 30° d) 60° e) Ninguna de las anteriores 6.- Arco AC es 1/6de la circunferencia. B es punto medio de AC. x=? a) 120° b) 12° c) 60° d) 30° e) Ninguna de las anteriores 7.- Arco AC = 30º de la circunferencia. AB : AC =2:3. a) 56° b) 6° c) 12° d) 24° e) Ninguna de las anteriores

∠

∠ x=?

www.amatematics.cl

PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA 8.- Dada la siguiente figura, con diámetro AC, ¿cuál es la medida del ∠ x =?
a) 54° b) 36° c) 18° d)12° e) Ninguna de las anteriores 9.- En la figura, O centro de las ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x=? a) 90° b) 45° c) 30° d) 15° e) Ninguna de las anteriores 10.- En la figura, O centro de la ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x =? a) 160° b) 150° c) 154° d) 172° e) 162° 11.- En la figura. O centro de la ⊕ , ¿cuál es la medida del ∠ x=? a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) Ninguna de las anteriores 12.- Dada lasiguiente figura. O centro de ⊕ . ∠ CPE = 15º. arco AB = arco BC= arco CD = arco DE, , ¿cuál es la medida del ∠ x= ? a) 15° b) 45° c) 30° d) 60° e) Ninguna de las anteriores

Pag. 5

www.amatematics.cl

PRUEBA PSU MATEMATICA GUIA 1: GEOMETRIA 13.- En la ⊕ de centro O, arco AB = arco BC = arco CD = arco DE, ¿cuál es la medida del ∠ x?
a) 80° b) 50° c) 30° d) 40° e) Ninguna de lasanteriores 14.- O centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ∠ x? a) 410° b) 260° c) 50° d) 100° e) Ninguna de las anteriores 15.- O centro de la circunferencia. ¿cuál es la medida del ∠ x? a) 70° b) 80° c) 90° d) 100° e) Ninguna de las anteriores

Pag. 6

O

16.- O centro de la circunferencia. Los arcos AB=BC=CD, ¿cuál es la medida del ∠ x? a) 2β+90° β b) 180° β c) β /2 d) β e) Ninguna de...