Civil

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Cálculo II
(Grado en Ingeniería Civil)
Departamento de Matemáticas

Índice
1. Introducción. Conceptos básicos. Interpretación
geométrica
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
i.

Definición

ii.

Ecuaciones de variables separadas

iii. Ecuaciones homogéneas
iv. Ecuaciones diferenciales exactas
v.

Ecuaciones lineales

vi.Ecuación de Bernouilli
vii. Trayectorias ortogonales

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
5. Ecuaciones diferenciales lineales completas.

Introducción
• El concepto de derivada está relacionado con
la variación que experimenta una función al
variar su posición inicial.
• ¿Existe algún proceso de la vida real que no
implique uncambio?

Nivel
del
agua
h
Velocidad v

Piedra en caída libre

Paracaidista

Salida de agua

y’’ = g = constante

mv’ = mg – bv2

h’ = – kh1/2

Introducción
Resistencia

Condensador

Fuerza
Electromotriz

Desplazamiento
y
Inductor

Masa oscilatoria en un resorte

Movimiento vibratorio

Corriente I en un circuito RLC

my’’ + ky = 0

y’’ + 02y = cost, 0 = LI’’ + RI’ + I/C = E’

Deformación de una viga

Péndulo

Modelo depredador-presa de
Lotka-Volterra

EIy = f(x)

L ’’ + g sen = 0

y1’ = ay1 – by1y2

iv

y2’ = ky1y2 – ly2

Introducción
• Todo proceso se puede modelar con una
ecuación que está relacionada con la derivada
de una función. Esta ecuación que contiene
derivadas se llama ecuación diferencial.
• Una ecuacióndiferencial es una ecuación que
contiene una o más variables independientes,
la función que depende de ellas y una o más
derivadas de esa función.
– Ecuación diferencial ordinaria (una variable
independiente)
– Ecuación en derivadas parciales (más de una
variable independiente)

Ecuación Diferencial Ordinaria
• Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
toda ecuación que establece unarelación entre
una variable independiente x  , una función
suya y = f (x) y las derivadas de ésta: y’, y’’, etc.
• Se llama orden de una ecuación diferencial al
orden de la máxima derivada que interviene en
la ecuación.
• Se llama grado de una ecuación diferencial
ordinaria al grado (exponente) de la máxima
derivada que interviene en la ecuación, salvo
que se diga otra cosa.

EcuaciónDiferencial Ordinaria
Existen tres problemas en el estudio de las
ecuaciones diferenciales:
•Comprobar que un haz de curvas es la solución
de una ecuación diferencial dada.
•Hallar la ecuación diferencial correspondiente a
un haz de curvas.
•Resolver una ecuación diferencial.

Interpretación geométrica de la
solución de una EDO
• Resolver una ecuación diferencial es hallar la
función y= f (x) que la verifica.
• Gráficamente, la solución de una EDO representa
el haz de curvas que satisface dicha ecuación.
• La solución de una EDO depende de tantos
parámetros como sea su orden.
• Ejemplo 1.1 Dada la EDO xy’ + y = 0, comprobar
que y = C/x es su solución e indicar qué
representa.

Interpretación geométrica de la
solución de una EDO

Interpretación geométrica de lasolución de una EDO
• Ejemplo 1.2 Comprobar que y + e y = (x + C)e – x es
la solución de la EDO y + e y  e –x + (1 + e y) y’ = 0.
Solución implícita

• Ejemplo 1.3 Comprobar que

Solución explícita

y = C1e x + C2e – x + e x (x 2  x)
es la solución de la EDO y’’  y = 4xe x e indicar
qué representa.

Interpretación geométrica de la
solución de una EDO

Interpretación geométricade la
solución de una EDO

EDO asociado a un haz de curvas
• Dada una función y = y (x) que depende de n
parámetros Ci, para hallar la EDO que verifica
dicha función se deriva ésta tantas veces como
parámetros haya y se eliminan los mismos en el
sistema resultante.
• Ejemplo 1.4 Hallar la ecuación diferencial cuya
solución es e x tgy = Ce x + x + 1.
• Ejemplo 1.5 Hallar la ecuación...