Clase 13 Teorema De Thales Y Euclides 2015

ACOMPAÑAMIENTO ANUAL
BLOQUE 21

PPTCAC037MT21-A15V1

Teorema de Thales y Euclides

PropiedadCpech
Intelectual Cpech
Propiedad Intelectual

Aprendizajes esperados
• Aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.
• Aplicar la división interior de un trazo en una razón dada.
• Aplicar el teorema de Euclides en el triángulo rectángulo en la
resolución de ejercicios.
• Analizar laproporcionalidad de trazos y la semejanza de triángulos en
el triángulo rectángulo.

Propiedad Intelectual Cpech

Contenidos

Aplicación del teorema de
Thales en su caso general
y en sus casos particulares

Aplicación de la división
interior de un trazo
en una razón dada.

Teorema de
Thales y
Euclides

Aplicación del teorema de
Euclides en la resolución
de ejercicios.

Aplicación de división
exterior deun trazo y otras
divisiones de trazos.

Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales,
los segmentos entre las paralelas son proporcionales.

Sean L1 // L2 // L3, entonces:
L1 A

E

L2 B
L3 C

AB
DE
=
BC
EF

D

F

BC
EF
=
AC
DF

AB
DE
=
AC
DF

Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Thales
Caso particular 1
Sean L1 // L2,entonces:
O

L1
L2

A

C

B

OA
OC
=
CD
AB

D

OA
OC
=
OD
OB

OA
OB
=
BD
AC

AB
CD
=
OD
OB

OC OD
=
BD
AC
Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Thales
Caso particular 2
Sean L1 // L2, entonces:
L1

A

B
O

L2

AO
BO
=
OC
OD

C

AB
CD
=
OD
AO

D

AB
CD
=
OC
BO
Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Thales
Ejemplo:
1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
O
5
L1
L2

A

C

7
BD
36

Solución:
Aplicando el Teorema de Thales:
OA
OB
=
BD
AC



5
12  5
1
=
=
36
3
AC
AC

 AC = 15

Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Thales
Ejemplo:
2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y.

Solución:
Aplicando el Teorema de Thales:
L1
A
AB
CD
=
OD
AO

x+y
B
2y
O

x+y
2x
=
OD
2y
OD =

4xy
L2
x+y

C

D
2x

Propiedad Intelectual Cpech

División de unsegmento
División interior
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m : n,
entonces:
AC m
=
n
CB
A

C

B

Ejemplo:
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3 : 5,
y QB = 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

A

Q

B

Propiedad Intelectual Cpech

División de un segmento
División interior
Solución:
45

Si QB = 45, entonces
27

Q

A

B

72

Si Q divide “interiormente” alsegmento AB en la razón 3 : 5,
AQ
3
=
5
QB



AQ
3
=
5
45



3 ∙ 45
AQ =
5



AQ = 27

Por lo tanto, AB mide 72

Propiedad Intelectual Cpech

División de un segmento
División exterior
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n,
entonces:
AD m
=
n
BD
A

B

D

Ejemplo:
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2,
y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
20
A

B

DPropiedad Intelectual Cpech

División de un segmento
División exterior
Solución:

20
A

12

B

8

D

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2,
AD
5
=
2
BD



20
5
=
2
BD



BD =

20 ∙ 2
5

 BD = 8

Propiedad Intelectual Cpech

División de un segmento
División armónica
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica
dividirlo interior y exteriormente en la mismarazón.
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
AC AD m
=
=
n
CB BD

Ejemplo:

A

C

D

B

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3 : 2,
¿cuánto mide BD y CB, si AB = 10?
10

A

C

B

D
Propiedad Intelectual Cpech

División de un segmento
División armónica
Solución:
10

A
AC
3
=
CB
2



6

C 4 B

10 – CB
3  20 – 2CB = 3CB
=
CB
2

20 = 5CB


AD = 3
BD
2

20 D

CB = 4

10 + BD 3  20 + 2BD = 3BD
=
2
BD

BD = 20
Propiedad Intelectual Cpech

Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la
hipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (hc) al cuadrado.
C

h
hcc22 =
=p
p∙
∙q
q
b

hc

Además, se cumple que:
a·b
h=
c
c
aa22 =
= cc ∙...