Clase02 PDEs

MODELO PARA EL
ENFRIAMIENTO DE UNA ALETA:

Introducción a las diferencias finitas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Descripción del Problema
Una parte importante en el diseño de un motor de
combustión interna de dos tiempos, es el diseño del
sistema de refrigeración de los cilindros. La cantidad de
calor liberada por la combustión de la mezcla alinterior
del cilindro se utiliza para el movimiento de un
dispositivo a través del cual se extrae parte de la
energía. Sin embargo otro tanto de este calor debe ser
evacuado a través de las paredes del cuerpo del motor
hacia el exterior. Para mejorar este intercambio de
energía se emplean elementos que aumentan la
superficie de transferencia de calor, dando lugar a
geometrías como las mostradas en lafigura, las cuales
se denominan aletas.
Nos interesa construir un modelo con el cual se pueda
determinar el perfil de temperaturas a lo largo de la
aleta, para unas condiciones dadas de operación
estable.
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Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Mecanismos de transferencia de calor:
Conducción
Mecanismos de
Transferencia de Calor

ConvecciónConducción

Radiación

Transferencia de energía calorífica entre dos
sistemas, basado en el contacto directo de
sus partículas sin flujo neto de materia.
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Conservación de la energía en sólidos
Principio de conservación :
La ley de la conservación de la energía establece que el cambio de la energía interna
deun volumen de control es igual a la entrada y la salida de la energía que
atraviesan sus fronteras.
Para un volumen de control (VC), el balance de energía se expresa de la siguiente
manera:

y

∂E !
= Een − E! sal
∂t

∂E
∂t

Suponiendo:
Régimen transitorio

x

z
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Conservación de la energía en sólidos
Setiene, por conservación de energía:

y
∂E
∂t

x
En el dominio del tiempo:

z

Mediante el balance de energía se tiene que
el cambio de energía interna, se define por:
Para la generación de
volumen de control:

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Conservación de la energía en sólidos
Por conservación de energía, remplazando la masa (m=ρVol):∂E
∂t

El volumen se define por:
Al dividir por el término del volumen y reordenando,
se obtiene:

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x

z

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Conservación de la energía en sólidos
Al analizar el proceso de transferencia de Calor en la dirección X se tiene:

Por ley de Fourier:
= Conductividad térmica
(Cte. de proporcionalidad)
Ley de FourierRemplazando

:

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Conservación de la energía en sólidos
Para X:

Incorporando el análisis en las otras direcciones:

Ecuación
de Calor
Asumiendo k, independiente de T y dirección:

, finalmente:

Difusividad
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Ingeniería Mecánica y MecatrónicaTransferencia de calor por conducción

Transporte en
la frontera

generación

Acumulación

Estado estable con generación:
Asumiendo
conductividad
Constante

Ecuación de Poisson
Estado transitorio sin generación:
Ecuación de Calor General

Estado estable sin generación:
Ecuación de Laplace
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Mecanismos de transferenciade calor:
Convección
Mecanismos de
Transferencia de Calor

Convección

Conducción

Radiación

Mecanismo de transferencia de energía asociado al
transporte térmico macroscópico hecho por un fluido
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Ingeniería Mecánica y Mecatrónica

Transferencia de calor por convección
Convección

Libre

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