Clasificación de los numeros

Números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Números enteros
Los números enteros son del tipo:
 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nospermiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimalesilimitados no.
Números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
 = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en ladesintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de losnúmeros reales , se designa por

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
Suma de números reales
Propiedades
1.Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b  
 +   
2.Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b +c) ·

3.Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a

4.Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
 + 0 = 
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
Multiplicación números reales
Propiedades
1.Interna:
El resultado demultiplicar dos números reales es otro número real.
a · b  
2.Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e ·  ) ·  = e · ( · )
3.Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a

4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porquetodo número multiplicado por él da el mismo número.
a ·1 = a
 · 1 = 
5. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
 · (e +  ) =  · e +  · 
7.Sacar factorcomún:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
 · e + ·  =  · (e + )
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, seescribe |a|, es el mismo número a cuando espositivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0
|x| = 2           x = −2           x = 2
|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )
|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)
|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    
 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7...