Clave 2015 Ecs

Capítulo 4
Relaciones diferenciales
para una partícula fluida

Motivación. Cuando analizamos el movimiento de los fluidos podemos seguir dos caminos
distintos: (1) buscar una estimación de los efectos globales (flujo másico, fuerza aplicada,
intercambio de energía) sobre una región finita o volumen de control, o (2) analizar
punto a punto los detalles del campo fluido analizando una regióninfinitesimal del flujo.
El primer enfoque, de tipo global, se trató en el Capítulo 3.
Este capítulo trata de la segunda de las técnicas para analizar el movimiento de los
fluidos: el análisis a pequeña escala, o diferencial. Esto es, aplicamos las cuatro leyes
de conservación básicas a un volumen de control infinitesimal o, alternativamente, a un
sistema fluido infinitesimal. En ambos casos se obtienenlas ecuaciones diferenciales
básicas del movimiento de un fluido. También se desarrollan las condiciones de contorno
apropiadas.
En su forma más básica, estas ecuaciones diferenciales del movimiento son bastante
difíciles de resolver, y se conoce muy poco sobre sus propiedades matemáticas generales.
Sin embargo, se pueden mostrar ciertos aspectos que tienen un gran valor educativo. En
primerlugar, como se muestra en el Capítulo 5, las ecuaciones (aunque no se resuelvan) revelan los parámetros adimensionales básicos que gobiernan el movimiento de los
fluidos. En segundo lugar, como se muestra en el Capítulo 6, se puede encontrar un
gran número de soluciones útiles si se hacen dos hipótesis simplificadoras: (1) flujo
estacionario y (2) flujo incompresible. Una tercera simplificaciónbastante más drástica,
la de flujo no viscoso, hace que sea válida la ecuación de Bernoulli y proporciona una
gran variedad de soluciones ideales, o de fluido perfecto, posibles. Estos flujos idealizados
se tratan en el Capítulo 8; se debe ser cuidadoso e indagar si estas soluciones son de
hecho realistas cuando se comparan con el movimiento real del fluido. Finalmente, a
pesar de su gran dificultad,las ecuaciones diferenciales generales se pueden resolver
hoy en día mediante la técnica aproximada del análisis numérico, donde las derivadas
se sustituyen por relaciones algebraicas entre un número finito de puntos del campo
fluido que pueden resolverse posteriormente mediante un ordenador. La Referencia 1
es un ejemplo de un libro de texto dedicado íntegramente al análisis numérico del movimientode los fluidos.

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Capítulo 4. Relaciones diferenciales para una partícula fluida

4.1. El campo de aceleraciones
de un fluido

En la Sección 1.5 establecimos la forma vectorial cartesiana de un campo de velocidades
función de la posición y del tiempo:
V(r, t)

iu(x, y, z, t)

j (x, y, z, t)

kw(x, y, z, t)

(1.4)

Esta es la variable másimportante de la Mecánica de Fluidos. Conocer el campo de velocidades es a menudo equivalente a resolver el problema. Nuestras coordenadas están fijas
en el espacio y observamos cómo pasa el fluido: como si hubiéramos tallado un conjunto
de líneas de coordenadas sobre la ventana de cristal de un túnel de viento. Este es el método descriptivo euleriano, que es distinto al método lagrangiano, en el cual sesigue el
movimiento de las partículas individuales.
La aceleración a también es fundamental en Mecánica de Fluidos, ya que aparece al
aplicar la segunda ley de Newton a un sistema fluido infinitesimal. Por tanto, necesitamos
calcular la derivada total del vector velocidad con respecto al tiempo:
dV
dt

a

i

du
dt

j

d
dt

k

dw
dt

Como cada componente escalar (u, y, w) es una función de lascuatro variables (x, y, z,
t), utilizamos la regla de la cadena para obtener la derivada temporal de cada escalar. Por
ejemplo,
du(x, y, z, t)
u
u dx
u dy
u dz
dt
t
x dt
y dt
z dt
Pero, por definición, dx/dt es la componente u de la velocidad local, y dy/dt 5 y y dz/dt
5 w. Así pues, la derivada total de u se puede escribir en la siguiente forma compacta:
du
dt

u
t

u
x

u

u
y

u
z

w

u
t

(V...