CLAVE DE MI EXAMEN BASICA 2 JUNIO 2010
Páginas: 9 (2134 palabras)
Publicado: 22 de agosto de 2015
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
SEGUNDO SEMESTRE 2013
CURSO MATEMÁTICA BÁSICA 2
SECCION F
ING. JOSE DIAZ
AUX. EDY RODRIGUEZ
TEMA 1 (25 puntos)
Trace la gráfica de f, indicando-Si procede- dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas
verticales y horizontales, intervalos creciente-decrecientes, intervalos de concavidad,
máximos y mínimos locales y punto deinflexión.
RESOLUCION
El criterio que se debe tomar inicialmente, es que los puntos críticos serán todos los ceros o
raíces de la primera y segunda derivada de la función A GRAFICAR.
1. Es recomendable expandir a expresiones mucho más simples la función para que al
momento de derivar no se tengan problemas.
Llevando la multiplicación de cada uno de los expresiones se tiene que…
⁄
⁄
( )
Al tener deesta manera la función es mucho más sencillo derivar, y es menor el riesgo a
equivocarse.
2. Se procede a calcular la primera derivada de la función
( )
⁄
( )
⁄
Simplificando se tiene que:
(
)
( )
⁄
3. Seguidamente se calcula la segunda derivada de la función
( )
⁄
⁄
Simplificando se tiene que:
(
( )
)
⁄
( )
4. Ahora teniendo la primera y segunda derivada se puede proceder aencontrar las raíces
de cada una de estas funciones
a) Puntos críticos provenientes de la primera derivada
( ),
para esto se procede a
igualar la función a cero, y se calculan las raíces, ya sea por medio de calculadora o
cálculo a mano de las mismas, ya sea a través de FACTORIZACION, DIVISION
SINTETICA, USO DE LA FUNCION CUADRATICA, ETC.
(
( )
(
)
⁄
)
⁄
, sin embargo el denominador no puede sercero, por tanto se tiene que:
(
)
Por tanto se tiene que los puntos críticos a tomar en cuenta EN BASE A LA
PRIMERA DERIVADA SON:
b) Puntos críticos provenientes de la primera derivada
(
( )
(
( )
)
⁄
)
⁄
, nuevamente el denominador no puede ser cero, por tanto se tiene que…
(
)
Al momento de ya tener todas las raíces correspondientes a la primera y segunda
derivada de la función
( ),
seprocede a ordenar las raíces para luego crear la tabla con
la cual se llega a analizar la presencia de máximos, mínimos, sentido de la concavidad,
y puntos de inflexión.
Tabla No.1 Análisis de puntos críticos, determinación de máximos, mínimos, puntos
de inflexión, y sentido de concavidad.
(
( )
)
⁄
(
( )
Posible máximo o mínimo
( )
PUNTO DE INFLEXION
( )
CRECIENTE
( )
CONCAVA HACIAARRIBA
( )
DECRECIENTE
( )
CONCAVA HACIA ABAJO
( )
INTERVALO
(
( )
cambia de + a –
( )
MAXIMO
( )
cambia de - a +
( )
MINIMO
PUNTO A
SIGNO
VALUAR
DE
)
(
⁄
( )
SI
(
)
-5
)
0.5
)
0
SIGNO DE
CONCLUSION
( )
( )
-
+
Decreciente, cóncava hacia arriba
-
0
PUNTO DE INFLEXION
+
-
Creciente, cóncava hacia abajo
0
-
MAXIMO
-
-
Decreciente, cóncava hacia abajoNOTA: El grafico de la función ( ) es un gráfico que posee un rango inferior muy
grande, por lo que no es posible visualizar a detalle la gráfica, por tanto se procede a realizar
un gráfico que muestre de manera más detallada el comportamiento de la gráfica a partir del
eje x positivo.
Grafico No. 1
Función ( )
SOLO DE REFERENCIA SE MUESTRAN LAS GRAFICAS DE
Grafico No. 3 Grafico de
( )
( )y
( )
Grafico No. 3 Grafico de
( )
Tema No. 2 (10 puntos c/u)
2.1 Evalué el siguiente límite:
(
)
RECORDATORIO DE MATEMATICA BASICA 1
PROPIEDADES DE LOGARITMO NATURAL ln
(
1.
2.
( )
3.
(
)
)
4.
5.
Se reescribe la expresión usando las propiedades del logaritmo natural ln:
Sea
(
)
(
)
Aplicando la primera propiedad de los logaritmos se tiene que:
)(
(
)
Cuando se trabaja conL’Hopital, se realiza el cálculo de límites usando derivadas, siempre y cuando
se cumpla con la condición de:
Si
( )
( )
o
( )
( )
Para obtener esta condición, en el caso de este ejercicio, se realiza la modificación de la
expresión
)(
(
(
)
)
Esta es una expresión en la cual si evaluamos el límite, se tiene que
AL CUMPLIR CON LA CONDICION DE TENER
SE PUEDE PROCEDER A DERIVAR...
FACULTAD DE INGENIERÍA
SEGUNDO SEMESTRE 2013
CURSO MATEMÁTICA BÁSICA 2
SECCION F
ING. JOSE DIAZ
AUX. EDY RODRIGUEZ
TEMA 1 (25 puntos)
Trace la gráfica de f, indicando-Si procede- dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas
verticales y horizontales, intervalos creciente-decrecientes, intervalos de concavidad,
máximos y mínimos locales y punto deinflexión.
RESOLUCION
El criterio que se debe tomar inicialmente, es que los puntos críticos serán todos los ceros o
raíces de la primera y segunda derivada de la función A GRAFICAR.
1. Es recomendable expandir a expresiones mucho más simples la función para que al
momento de derivar no se tengan problemas.
Llevando la multiplicación de cada uno de los expresiones se tiene que…
⁄
⁄
( )
Al tener deesta manera la función es mucho más sencillo derivar, y es menor el riesgo a
equivocarse.
2. Se procede a calcular la primera derivada de la función
( )
⁄
( )
⁄
Simplificando se tiene que:
(
)
( )
⁄
3. Seguidamente se calcula la segunda derivada de la función
( )
⁄
⁄
Simplificando se tiene que:
(
( )
)
⁄
( )
4. Ahora teniendo la primera y segunda derivada se puede proceder aencontrar las raíces
de cada una de estas funciones
a) Puntos críticos provenientes de la primera derivada
( ),
para esto se procede a
igualar la función a cero, y se calculan las raíces, ya sea por medio de calculadora o
cálculo a mano de las mismas, ya sea a través de FACTORIZACION, DIVISION
SINTETICA, USO DE LA FUNCION CUADRATICA, ETC.
(
( )
(
)
⁄
)
⁄
, sin embargo el denominador no puede sercero, por tanto se tiene que:
(
)
Por tanto se tiene que los puntos críticos a tomar en cuenta EN BASE A LA
PRIMERA DERIVADA SON:
b) Puntos críticos provenientes de la primera derivada
(
( )
(
( )
)
⁄
)
⁄
, nuevamente el denominador no puede ser cero, por tanto se tiene que…
(
)
Al momento de ya tener todas las raíces correspondientes a la primera y segunda
derivada de la función
( ),
seprocede a ordenar las raíces para luego crear la tabla con
la cual se llega a analizar la presencia de máximos, mínimos, sentido de la concavidad,
y puntos de inflexión.
Tabla No.1 Análisis de puntos críticos, determinación de máximos, mínimos, puntos
de inflexión, y sentido de concavidad.
(
( )
)
⁄
(
( )
Posible máximo o mínimo
( )
PUNTO DE INFLEXION
( )
CRECIENTE
( )
CONCAVA HACIAARRIBA
( )
DECRECIENTE
( )
CONCAVA HACIA ABAJO
( )
INTERVALO
(
( )
cambia de + a –
( )
MAXIMO
( )
cambia de - a +
( )
MINIMO
PUNTO A
SIGNO
VALUAR
DE
)
(
⁄
( )
SI
(
)
-5
)
0.5
)
0
SIGNO DE
CONCLUSION
( )
( )
-
+
Decreciente, cóncava hacia arriba
-
0
PUNTO DE INFLEXION
+
-
Creciente, cóncava hacia abajo
0
-
MAXIMO
-
-
Decreciente, cóncava hacia abajoNOTA: El grafico de la función ( ) es un gráfico que posee un rango inferior muy
grande, por lo que no es posible visualizar a detalle la gráfica, por tanto se procede a realizar
un gráfico que muestre de manera más detallada el comportamiento de la gráfica a partir del
eje x positivo.
Grafico No. 1
Función ( )
SOLO DE REFERENCIA SE MUESTRAN LAS GRAFICAS DE
Grafico No. 3 Grafico de
( )
( )y
( )
Grafico No. 3 Grafico de
( )
Tema No. 2 (10 puntos c/u)
2.1 Evalué el siguiente límite:
(
)
RECORDATORIO DE MATEMATICA BASICA 1
PROPIEDADES DE LOGARITMO NATURAL ln
(
1.
2.
( )
3.
(
)
)
4.
5.
Se reescribe la expresión usando las propiedades del logaritmo natural ln:
Sea
(
)
(
)
Aplicando la primera propiedad de los logaritmos se tiene que:
)(
(
)
Cuando se trabaja conL’Hopital, se realiza el cálculo de límites usando derivadas, siempre y cuando
se cumpla con la condición de:
Si
( )
( )
o
( )
( )
Para obtener esta condición, en el caso de este ejercicio, se realiza la modificación de la
expresión
)(
(
(
)
)
Esta es una expresión en la cual si evaluamos el límite, se tiene que
AL CUMPLIR CON LA CONDICION DE TENER
SE PUEDE PROCEDER A DERIVAR...
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