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Universidad Católica de Santa María

Facultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Formales

Programa Profesional de Ingeniería Mecánica

Curso:
Calculo Diferencial
Tema:
Método de Newton
Docente:
Walther Abel, Palza Delgado.
Alumno:
Miranda Fernández, Jorge Luis

Semestre II - Sección: “B”

Arequipa – 2012

Método de Newton
El Método numérico deNewton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable. El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede noconverger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas. Truncando la serie a primer orden e igualando f (x) = 0 setiene.
Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `( x ) . Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ó sea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphsonasume que la función f ( x ) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f ( x ) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en ( x 0, f ( x 0)) es una aproximación a la curva de f ( x ) cerca del punto ( x 0, f ( x 0)) .En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f ( x ) o denominada raízde f(x).
Usando los conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial. Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Estosignifica que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f ( x ) = x 2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo: f ( x ) = x 2 − 4 = 0 , de aquí se tiene que f ( x ) = ( x + 2)( x − 2) = 0 , para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de laecuación.
Descripción del método:
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero. La relativa cercanía del punto inicial a la raízdepende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en elorigen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a,b].

Obtención del Algoritmo:

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de...